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【题目】传记作者莫希柯夫斯基有一次为了逗生病的爱因斯坦开心，给他出了这样的一道题（见图9）： “当表的指针处于12点整的位置时，如果把时针和分针对调一下，这个新时间也是存在的。但并非任何时间都可以这么做，比如6点钟的时候，如果把两个指针对调，出现的新时间就有些离谱了。我们知道，时针指向12时，分针恰好指向6，这对于正常运行的钟表来说是根本不可能的。那么，当表针处于什么位置的时候时针与分针可以对调，并且出现的新时间是能够真实存在的呢？” 爱因斯坦对此很感兴趣，他说：“对于我这种卧病在床的人来说，这种既有趣又有点难度的问题的确是很好的消遣，不过这道题或许用不了多少时间，我想我马上就解出来了。” 然后他从床上坐起来，在纸上迅速画出了一幅草图，并不比我描述这道题所用的时间更久，他已经得到了答案……  图9 表针问题 你知道他是怎么解答出来的吗？ 【解题】以表盘圆周的 现在假设当时针从12起走到要求的位置上时已经走过了x个刻度，分针已经走了y个刻度。时针走过60个刻度需要12小时，这说明它每小时能走5个刻度，那么它走完这x个刻度所用的时间应该是 现在我们把时针与分针对调，用上述方法也可得到从12起至两针所指的时间经过了 现在我们得到一个方程组： 通过解方程组，可得到：
已知道了m和n的取值范围，想要得到本题所需要的表针位置，我们只需把0到11的每个整数代入上面的两个算式中就可以了，因为m所代表的12个数中的每一个都能与n所代表的12个数中的每一个组合在一起。这样看起来，本题应该有144个解，但事实上是143个，因为当“m=0，n=0”时和“m=11，n=11”时，表针所指的是同一位置；当“m=11，n=11”时，x与y的值都是60，因此两指针都指向12，这与“m=0，n=0”时两指针所指的位置是一样的。 我在这里并不打算对本题的143个解全部进行分析，只举其中两个有代表性的例子。 第一例，当“m=1，n=1”时：
这个时间是1点 第二例，当“m=8，n=5”时：
想要确定所有143个符合题目要求的指针位置，我们需要把表盘圆周分成143等份，这样得出的143个点就是本题的答案，其他任何点上的指针都是不可以对调的。（俄.别莱利曼） |
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为单位来度量表针从12起走过的距离。
小时。或者说，当时针从12起走到要求的位置上时，已走了
小时。分针走了y个刻度，用的时间是y分钟，可见，当分针从12起走到要求的位置上时，已走了
小时。也可以说，时针与分针从同时指向12起，用
小时走到了要求的位置。由于我们所指的是12点后的整小时数，因此这个时间应该是0到11的整数。
小时，这个时间也应该是0到11的整数。
分，这时两指针是重合的，对调位置与原来没有区别，除此而外，其他每个两指针重合的时间也是这种情况。
