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有关此主题的主题指南，请参见 秩序理论概述. 数学科
秩序理论 是的一个分支 数学 它调查了使用的直观的订单概念 二元关系。它提供了一个正式的框架来描述诸如“小于此数量”或“此数量之前”之类的语句。本文介绍了该领域并提供了基本定义。订单理论术语的列表可以在 秩序理论词汇. 背景和动机在数学和相关领域中无处不在，例如 计算机科学。一阶常在 小学 是订单上的标准订单 自然数 例如“ 2小于3”，“ 10大于5”或“ Tom的cookie是否少于Sally？”。这种直观的概念可以扩展到其他订单集上的订单 数字， 如那个 整数 和 实数。大于或小于另一个数字的想法是 数字系统 （与之比较 数字系统）（通常也对实际 区别 两个数字中的一个，这不是按顺序给出的）。其他常见的订购示例是 按字母顺序 词典中的单词和 家系的 的财产 线性下降 在一群人中。 顺序的概念非常笼统，超出了具有直接，直观的顺序或相对数量感觉的上下文。在其他情况下，订单可能包含遏制或专业化的概念。抽象地，这种类型的订单等于 子集关系，例如“儿科医生 是 医师，“ 和 ”界 只是特殊情况 椭圆.' 某些顺序（例如自然数上的“小于”和单词上的字母顺序）具有特殊的属性：每个元素都可以是 比较的 对于任何其他元素，即小于（早于），大于（晚于）或与之相同。但是，许多其他命令则没有。考虑例如一个集合的子集顺序 套：尽管鸟和狗都是动物的子集，但鸟和狗都不构成彼此的子集。那些像“子集”关系那样存在的命令 无与伦比 元素被称为 部分订单;每对元素可比的订单是 总订单. 顺序理论反映了从一般情况下此类示例产生的顺序的直觉。这是通过指定关系≤必须为数学顺序的属性来实现的。这种更抽象的方法很有道理，因为人们可以在一般情况下得出许多定理，而不必关注任何特定顺序的细节。然后，这些见解可以轻松地转移到许多不太抽象的应用程序中。 在订单的广泛实际使用的推动下，已定义了许多特殊种类的有序集，其中一些已成长为自己的数学领域。另外，订购理论并不将自己局限于各种订购关系，而是认为是适当的。 职能 它们之间。函数阶数理论性质的一个简单示例来自 分析 在哪里 单调 功能经常被发现。 基本定义本节将基于以下概念介绍有序集 集合论, 算术， 和 二元关系. 部分订购的套装订单是特殊的二进制关系。假设 P 是一个集合，而≤是关于 P。那么≤是一个 偏序， 要不就 命令 如果预期的意思是明确的，如果是 反身的, 反对称， 和 及物，即所有人 一种, b 和 C 在 P，我们有：
一套 偏序 在它上被称为 部分有序集, 姿势， 要不就 有序集 如果预期含义清楚。通过检查这些属性，可以立即看到众所周知的订单 自然数, 整数, 有理数 和 实数 都是以上意义上的命令。但是，这些示例还具有以下附加特性： 连接体，即所有人 一种 和 b 在 P，我们有：
连接部分偏序称为 总订单。这些命令也可以称为 线性订单 或者 链条。尽管许多经典订单是线性的，但 子集 集合中的订单提供了一个示例，但实际情况并非如此。另一个例子是可除性（或“是-因素-of“）关系|。对于两个自然数 ñ 和 米， 我们写 ñ|米 如果 ñ 分界 米 没有剩余。可以很容易地看出这产生了偏序。在任何集合上的恒等关系=也是偏序，其中每两个不同的元素都是不可比的。它也是唯一的关系，既是偏序又是 等价关系。姿势的许多高级属性主要是针对非线性阶的。 可视化摆放器 哈斯图 60个除数的集合中的一个，按除数进行部分排序 哈斯图 可以直观地表示部分排序的元素和关系。这些都是 绘图图 在哪里 顶点 是位姿的元素，排序关系由两个 边缘 以及顶点的相对位置。订单是自下而上绘制的：如果是元素 X 小于（大于） ÿ 然后存在一条从 X 至 ÿ 那是向上的。通常，连接元件的边缘必须相互交叉，但必须决不能将元件放置在边缘内。一个有启发性的练习是绘制小于或等于13的自然数集的Hasse图。 （这 分界 关系）。 甚至一些无限集也可以通过叠加一个 省略 （...）在有限子阶上。这对于自然数效果很好，但对于实数却无效，因为实数不存在大于0的立即数。然而，很多时候人们可以得到与类似图表有关的直觉[模糊的]. 订单中的特殊元素在部分排序的集合中，可能会有一些元素扮演特殊角色。最基本的示例由 最小元素 的 姿势。例如1是 最小元素 正整数和 空集 是子集顺序下的最小集合。正式地，一个元素 米 是最小元素，如果：
即使不考虑数字，也经常在最小元素中找到符号0。但是，在数字集的顺序中，此表示法可能不合适或模棱两可，因为数字0并不总是最小的。上面的除数顺序|给出了一个示例，其中1是最小元素，因为它除以所有其他数字。相反，0是除以所有其他数字的数字。因此，这是 最大的要素 的顺序。最小和最大元素的其他常用术语是 底部 和 最佳 或者 零 和 单元. 最少和 最重要的元素 可能不存在，如实数示例所示。但是，如果它们存在，它们总是唯一的。相反，考虑除数关系|在集合{2,3,4,5,6}上。尽管此集合既没有顶部也没有底部，但是元素2、3和5在它们下面都没有元素，而元素4、5和6在上面都没有元素。这样的元素称为 最小的 和 最大的， 分别。正式地，一个元素 米 是 最小的 如果：
用≤交换≤的定义 最大的。如示例所示，可以有许多最大元素，并且某些元素可以是最大和最小（例如上面的5）。但是，如果存在最小元素，则它是订单中唯一的最小元素。同样，在无限的姿势中，最大元素并不总是存在-所有元素的集合 有限 给定无限集的子集（按子集包含排序）提供了许多反例之一。确保在某些条件下存在最大元素的重要工具是 佐恩的引理. 部分排序集的子集继承了该顺序。我们已经通过考虑自然数的子集{2,3,4,5,6}并使用诱导除数排序来应用了此方法。现在，关于该订单的某些子集，坐姿元素中也有一些特殊元素。这导致了对 上限。给定一个子集 小号 一些姿势 P，上限 小号 是一个元素 b 的 P 高于所有要素 小号。正式地，这意味着
下界再次通过颠倒顺序来定义。例如，-5是作为整数子集的自然数的下限。给定一组集合，这些集合在子集排序下的上限由它们的 联盟。实际上，这个上限非常特殊：它是包含所有集合的最小集合。因此，我们发现了 最小上限 套的集合。这个概念也称为 至高无上的 或者 加入，并为一组 小号 一个写sup（小号） 或者 其最小上限。相反， 最大下限 被称为 极少 或者 遇见 并表示为inf（小号） 或者 。这些概念在订单理论的许多应用中起着重要作用。对于两个元素 X 和 ÿ，其中一位还写道 和 为sup（{X,ÿ}）和inf（{X,ÿ}）， 分别。 例如，1是作为整数子集的正整数的最小值。 再举一个例子，再次考虑以下关系：在自然数上。两个数字的最小上限是被两个数字除以的最小数字，即 最小公倍数 的数字。最大的下限由 最大公约数. 二元性在先前的定义中，我们经常注意到，仅通过颠倒先前定义中的顺序就可以定义一个概念。 “最小”和“最大”，“最小”和“最大”，“上限”和“下限”，等等都是这种情况。这是顺序理论中的一般情况：给定的顺序可以通过交换其方向来反转，即从上至下以图形方式翻转Hasse图。这产生了所谓的 双, 逆， 或者 相反的顺序. 每个顺序理论定义都有其对偶关系：它是通过将定义应用于逆序而获得的概念。由于所有概念都是对称的，因此此运算保留了偏序定理。对于给定的数学结果，只需颠倒顺序并将所有定义替换为对偶即可获得另一个有效定理。这是重要和有用的，因为一个人以一个人的价格获得了两个定理。有关更多详细信息和示例，请参见以下文章。 秩序论二重性. 建立新订单有多种方法可以根据给定订单构造订单。双重顺序就是一个例子。另一个重要的结构是 笛卡尔积 两个部分排序的集合，与 产品订单 对元素。顺序由（一种, X) ≤ (b, ÿ）当（且仅当） 一种 ≤ b 和 X ≤ ÿ。 （请注意，在此定义中，关系符号≤具有三种不同的含义。） 脱节联合 两个位姿中的一个是订单构建的另一个典型示例，其中订单只是原始订单的（不相交）联合。 每个偏阶≤都会产生一个所谓的 严格的秩序 <，通过定义 一种 < b 如果 一种 ≤ b 并不是 b ≤ 一种。可以通过设置反转此转换 一种 ≤ b 如果 一种 < b 或者 一种 = b。这两个概念是等效的，尽管在某些情况下，一个可能比另一个更方便使用。 订单之间的功能合理地考虑部分有序集之间的功能，这些有序集具有与两个集的排序关系有关的某些附加属性。在这种情况下发生的最基本条件是 单调性。一个功能 F 从一个姿势 P 到一个姿势 问 是 单调， 或者 保持订单， 如果 一种 ≤ b 在 P 暗示 F(一种) ≤ F(b） 在 问 （请注意，严格来说，这两个关系是不同的，因为它们适用于不同的集合。）与此相反的含义导致函数 反映秩序，即功能 F 如上 F(一种) ≤ F(b） 暗示 一种 ≤ b。另一方面，功能也可能是 倒序 或者 反音， 如果 一种 ≤ b 暗示 F(一种) ≥ F(b). 一个 订单嵌入 是一个功能 F 在既保持订单又反映订单的订单之间。这些定义的示例很容易找到。例如，将自然数映射到其后继的函数在自然顺序方面显然是单调的。来自离散顺序（即，以标识顺序“ =”排序的集合的任何功能）也是单调的。将每个自然数映射到相应的实数给出了订单嵌入的示例。这 设置补语 在一个 功率集 是反调功能的一个示例。 一个重要的问题是两个命令何时“基本相等”，即在重命名元素时它们是相同的。 阶同构 是定义此类重命名的函数。有序同构是单调 双射的 具有单调逆的函数。这相当于成为一个 形容词 订单嵌入。因此，图像 F(P）的顺序嵌入始终与 P，这证明了“嵌入”一词的合理性。 更为复杂的功能类型由所谓的 Galois连接。单调Galois连接可以看作是顺序同构的概括，因为它们由相反方向上的两个函数对组成，这两个函数彼此“不是很完全”相反，但是仍然具有紧密的关系。 摆拍上的另一种特殊类型的自映射是 闭包运算符，不仅单调，而且 幂等， IE。 F(X) = F(F(X））， 和 广泛的 （或者 通货膨胀的）， IE。 X ≤ F(X）。这些在数学中出现的各种“闭包”中都有许多应用。 除了与单纯的顺序关系兼容之外，摆式样之间的功能在特殊元素和构造方面也可能表现良好。例如，当讨论具有最少元素的姿势时，似乎仅考虑保留该元素的单调函数，即将最少元素映射到最少元素似乎是合理的。如果存在二进制infima ,，那么一个合理的属性可能是要求 F(X ∧ ÿ) = F(X) ∧ F(ÿ）， 对所有人 X 和 ÿ。所有这些属性，甚至还有更多其他属性，都可以在以下标签下进行编译： 极限保持功能. 最后，可以反转视图，从 订单功能 至 功能顺序。确实，两个坐姿之间的功能 P 和 问 可以通过订购 点顺序。对于两个功能 F 和 G， 我们有 F ≤ G 如果 F(X) ≤ G(X）的所有元素 X 的 P。例如，这发生在 领域理论， 在哪里 功能空间 扮演一个重要角色。 特殊类型的订单在顺序理论中研究的许多结构都采用具有其他属性的顺序关系。实际上，即使某些不是部分订单的关系也具有特殊的意义。主要是一个概念 预购 必须提到。前置关系是自反和传递的关系，但不一定是反对称的。每个预购商品都会产生一个 等价关系 元素之间，在哪里 一种 相当于 b， 如果 一种 ≤ b 和 b ≤ 一种。通过识别与此关系等效的所有元素，可以将预购订单转换为订单。 可以根据订单项上的数值数据定义几种类型的订单： 总订单 将不同的实数附加到每个项目并使用数值比较对项目进行排序得到的结果；相反，如果允许不同的项目具有相等的数字分数，则获得一个 严格的弱排序。在比较之前，要求将两个分数用固定的阈值分隔开，这导致了一个概念。 半阶，同时允许每个项目更改阈值会产生一个 间隔顺序. 附加的简单但有用的属性导致所谓的 有根据的，其所有非空子集都有一个最小元素。概括从线性阶到部分阶的井阶，一个集合是 井井有条 如果其所有非空子集都具有有限数量的最小元素。 当存在以下情况时，会产生许多其他类型的订单 虚假信息 和 至上 某些套是有保证的。专注于这方面，通常称为 完整性 的订单，可获得：
但是，甚至可以走得更远：如果存在所有有限的非空信息，则∧可以看作是从 通用代数。因此，在一个晶格中，两个操作∧和∨可用，并且一个操作可以通过给出标识来定义新属性，例如
这种情况称为 分配性 并引起 分布晶格。有关以下内容的文章中还讨论了其他一些重要的分布规律： 秩序理论中的分布性。通常通过代数运算和定义恒等式指定的一些其他阶结构是 两者都引入了一个新的操作〜称为 否定。两种结构都在 数学逻辑 特别是布尔代数在 计算机科学最后，数学中的各种结构将阶次与更多的代数运算结合在一起，例如 量子，用于定义加法运算。 姿势的许多其他重要属性也存在。例如，一个坐姿是 局部有限 如果每个关闭 间隔 [一种, b]在里面 有限。局部有限的位姿会引起 入射代数 反过来可以用来定义 欧拉特征 有限有界球的集合。 有序集的子集在有序集合中，可以根据给定的顺序定义许多类型的特殊子集。一个简单的例子是 上套;即包含按顺序位于其上方的所有元素的集合。正式地， 上封口 一套 小号 在一个姿势 P 由集合{X 在 P |有一些 ÿ 在 小号 和 ÿ ≤ X}。等于其上闭包的集合称为上集合。 下套 被双重定义。 更复杂的较低子集是 理想，它具有附加的属性，即每个元素的两个元素在理想值内都有一个上限。他们的对偶由 过滤器。一个相关的概念是 有向子集，它像理想情况一样，包含有限子集的上限，但不一定是下限。此外，它通常被推广到预定集。 作为子姿势线性排序的子集称为 链。相反的概念 反链是不包含两个可比较元素的子集；即这是一个离散的顺序。 相关数学领域虽然大多数数学领域 用 以一种或另一种方式进行订购，也有一些理论具有远远超出单纯应用的关系。连同它们与顺序理论的主要联系点，下面将介绍其中一些。 通用代数如前所述，方法和形式主义 通用代数 是许多阶理论考虑的重要工具。除了形式化订单外， 代数结构 满足某些身份的人，也可以建立与代数的其他联系。两者之间的对应关系给出了一个例子 布尔代数 和 布尔环。其他问题与是否存在 自由建筑， 如 自由晶格 基于给定的一组发电机。此外，闭包算子在通用代数的研究中很重要。 拓扑结构在 拓扑结构，订单起着非常突出的作用。其实收藏 开放集 提供了一个完整格的经典示例，更确切地说是一个完整的格 Heyting代数 （或者 ”框架“ 或者 ”地区'). 筛选器 和 网 这些概念与秩序理论和 集的闭包运算符 可用于定义拓扑。除这些关系外，拓扑还可以仅根据开放集格来查看，这导致了对拓扑结构的研究。 无意义的拓扑。此外，拓扑的基础集合的元素的自然预排序由所谓的 专业化顺序，如果拓扑是 Ť0. 相反，在顺序理论中，经常使用拓扑结果。有多种方法可以定义订单的子集，这些子集可以视为拓扑的开放集。考虑姿势上的拓扑（X，≤），从而将≤作为其专业化顺序， 最好的 这样的拓扑是 亚历山德罗夫拓扑，通过将所有较高的集合作为打开来给出。相反， 最粗糙的 导致专业化顺序的拓扑是 上层拓扑，具有 主要理想 （即{ÿ 在 X | ÿ ≤ X} 对于一些 X） 作为一个 底基。此外，具有专门化顺序≤的拓扑可能是 顺序一致，表示其开放集“无法通过有针对性的极值访问”（相对于≤）。最佳顺序一致的拓扑是 斯科特拓扑，它比Alexandrov拓扑要粗糙。本着这种精神，第三个重要的拓扑是 劳森拓扑。这些拓扑与顺序理论的概念之间有着紧密的联系。例如，当且仅当函数是 连续的 关于Scott拓扑（因此，该阶理论特性也称为 斯科特连续性). 范畴论订单的可视化 哈斯图 具有简单明了的概括：而不是显示较少的元素 以下 较大的方向，也可以通过将方向指定给图形的边缘来描述顺序的方向。这样，每个订单被视为等效于 有向无环图，其中节点是摆放器的元素，并且有一条从 一种 至 b 当且仅当 一种 ≤ b。除去无循环的要求，还可以获得所有预购订单。 当配备了所有可传递边缘时，这些图反过来又很特殊 类别，其中元素是对象，并且两个元素之间的每个态射集最多为单例。订单之间的功能成为类别之间的函子。序论的许多思想只是范畴论的概念。例如，一个无限量只是一个 分类产品。更笼统地说，一个人可以用一个抽象的概念来捕捉图像和上清。 分类极限 （或者 共限， 分别）。出现分类观念的另一个地方是（单调）的概念 伽罗瓦连接，与一对 伴随函子. 但是范畴论在更大程度上也对顺序论产生了影响。如上所述的具有适当功能的坐姿类形成有趣的类别。通常，您还可以说明订单的结构，例如 产品订单，就类别而言。找到订单类别时，会得到更多的见解 绝对等价 其他类别，例如拓扑空间。这方面的研究导致各种 表征定理，通常以“ 石对偶. 历史如前所述，阶数在数学中无处不在。但是，最早的关于局部秩序的提法可能是在19世纪之前发现的。在这种情况下， 乔治·布尔 非常重要。此外， 查尔斯·桑德斯·皮尔斯, 理查德·德金（Richard Dedekind）， 和 恩斯特·施罗德（ErnstSchröder） 还考虑顺序理论的概念。当然，在这种情况下还有其他名称，当然在定序理论的历史上还会有更详细的资料。 术语 姿势 因为部分订购集的缩写是由 加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff） 在他的有影响力的书的第二版中 晶格理论.[2][3] 也可以看看笔记
参考
外部链接
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