集合考点透视||高中

家有学子 2017-07-17

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集合是现代数学的理论基础,是学好数学的重要工具性知识,集合语言具有叙述准确、高度概括、清晰简要的特点,是数学各个分支的基本语言,集合是高考必考的考点之一,题型一般是客观题,通常考查集合的概念、集合间的关系及其集合的运算以及以集合为背景的创新问题.

考点1：集合的基本概念

例1 (1)( 2016—2017学年福建莆田八中高一上学期期中考)下列集合中表示同一集合的是( )

（A）M={(3,2)},N={(2,3)}（B）M={4,5},N={5,4}

（C）M={(x,y)|x＋y=1},N={y|x＋y=1}（D）M={1,2},N={(1,2)}

(2)(2017年安徽省合肥一中月考)已知集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )

（A）3（B）4（C）5（D）6

(3)( 2016—2017学年河南省滑县二中高一上学期10月月考)已知f(x)=x²－ax＋b(a、b∈R)，A=

{x∈R|f(x)－x=0},B={x∈R|f(x)－ax=0},若A={1,－3},试用列举法表示集合B.

分析：本题(1)判断集合M,N中的元素是否一样；(2)根据a∈A,b∈B列举出所有a＋b的值,结合元素互异性求解；(3)通过一元二次方程根与系数关系确定a,b值,得出函数f(x)解析式,求出集合B中元素.

解：(1)对于选项A,M中元素是点(3,2),N中元素是点(2,3),元素不同；

B中M和N的元素相同,两个集合相等；

对于选项C,M表示直线y=－x＋1,N中表示函数y=－x＋1的函数值的集合,元素不同；

对于选项D,M中的元素是数1和2,N中的元素是点(1,2),元素不同.

故选B.

(2)当a=1,b=4,5时,则a＋b=5,6；当a=2,b=4,5时,则a＋b=6,7；当a=3,b=4,5时,则a＋b=7,8.

所以M中元素有5,6,7,8共4个.故选B.

(3)方程f(x)－x=0,即为x²－(a＋1)x＋b=0,

由A={1,－3},则x=1,x=－3是方程x²－(a＋1)x＋b=0的两个根.

由根与系数的关系,知解得a=－3,b=－3,所以f(x)=x²＋3x－3.

方程f(x)－ax=0，即x²＋6x－3=0，解得x=－3－2或x=－3＋2,

所以B={－3－2,－3＋2}．

[评注]解决集合概念问题,首先应明确集合中元素的性质,是数集、还是点集，是方程的解集、还是不等式的解集等.此外,要把握元素的特性,特别是互异性,善于利用互异性找到解题的切入点,同时还应善于通过检验是否满足互异性以确保答案正确.

考点2：集合间的基本关系

例2(1) (2016—2017学年河南周口市中英文学校高一上学期月考)已知集合M={y|y=x²－1,x∈R},P={x|x=|a|－1,a∈R},则集合M与P的关系是( )

（A）M=P（B）M≠P（C）MP（D）MP

(2)(2016年福建省福州市五校联考)设集合A满足{a}A{a,b,c,d},则满足条件的集合A的个数是( )

（A）4（B）5（C）6（D）7

(3)( 2016—2017学年陕西省延川县中学高一上学期期中)设集合A={x|－2≤x≤5},B={x|m＋1≤x≤2m－1},且BA,则实数m的取值范围是______.

分析：本题(1)首先分别化简集合M,P,然后依据集合关系的相关定义判断；(2)根据子集与真子集的定义写出所有满足条件的集合A；(2)由B?A,分B=与B≠两种情况讨论, B≠时结合数轴求解.

解：(1)M={y|y≥－1},P={x|x≥－1},依据两个集合相等定义可知M=P.故选A.

(2)根据子集与真子集的定义可知,集合A中必含有元素a,而且含有a,b,c,d中的至多三个元素,

因此满足条件的集合A有{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},共7个.故选D.

(3)B?A时有如下两种情况：

① 当B=时,即2m－1＜m＋1,解得m＜2.

② 当B≠时,由B?A得解得2≤m≤3.

综上所述,实数m的取值范围是m≤3.

[评注]判断两个集合的关系,首先明确集合中元素,再利用元素的特征判断集合间的关系；书写集合的子集或真子集时,需按一定顺序书写,以免遗漏；已知两个集合之间的关系求参数值时,应明确集合中的元素属性,对子集是否为空集进行分类讨论.若集合为不等式的解集,应注意结合数轴数形结合及其端点函数值能否取到.

考点3：集合的基本运算

例3(1)(2016年江苏省南京市二模)已知集合A={2^a,3},B={2,3},若AB={1,2,3},则实数a的值为 .

(2)(2016年东北三省四市一模)已知全集U=R,集合A={x|x＜－1或x＞4},

B={x|－2≤x≤3},则阴影部分表示的集合为( )

（A）{x|－2≤x＜4}（B）{x|x≤3或x≥4}

（C）{x|－2≤x≤－1}（D）{x|－1≤x≤3}

(3)（2016—2017学年甘肃天水市清水六中高一数学上学期期中）已知集合A={x|－2＜x＜3},B={x|m＜x＜m＋9}.

①若AB=B,求实数m的取值范围；

②若AB≠,求实数m的取值范围.

分析：本题(1)根据集合并集的定义分析可知2^a=1，进而求a值；(2)首先分析图形,得出阴影部分为(C_UA)B,然后运算；(3)首先将AB=B转化为AB,然后结合数轴列不等式求解.

解：(1)依据集合并集定义可知2^a=1,a=0.故答案填0.

(2)阴影部分所表示的集合为(C_UA)B={x|－1≤x≤4}{x|－2≤x≤3}={x|－1≤x≤3}.故选D.