高中数学｜集合提升复习（经典题型汇集）

集合提升复习（经典题型汇集）

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[考点解读]

1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．

2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)

3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)

4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．

[考情考向分析]

集合的含义与表示是集合运算和应用的基础，元素与集合的关系、集合间的关系多以填空题形式考查，低档难度；集合的概念有时与数列等知识交汇，中低档难度．

基础知识过关

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

常见数集的记法

2．集合间的基本关系

集合间的基本关系

3．集合的基本运算

集合的基本运算

4．集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质

补集的性质

(4)若有限集A中有n个元素，则

子集个数规律

【概念方法微思考】

1.两个集合{a，b}和{(a，b)}是否相同？

提示：不同，{a，b}是数集，{(a，b)}是点集．

2.由运算A∩B＝A可以得到集合A，B具有什么关系？

提示　A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.

题组微热身

一、走进教材

第1题

答案　D

2．(必修1P₁₂B组T₁改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。

解析　由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有2⁶＝64(个)。

答案　64

二、走近高考

3．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={-4<x<2}，N={x|x²-x-6<0}，则M∩N＝( )

A．{x|-4<x<3} B．{x|-4<x<-2} C．{x|-2<x<2} D．{x|2<x<3}

答案　C

4.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{ －2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )

A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}

解析　根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}。故选A。

答案　A

5．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )

A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}

解析　因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}。故选C。

答案　C

6．(2017·全国卷Ⅲ)

第6题

【一题多解】解析：集合A表示单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，根据图象容易判断有两个交点，故选B。

答案　B

三、走出误区

微提醒：①忽视集合的互异性致使出错；②分类讨论不全面导致漏解。

7.

第7题

8．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________。

解析　易得M＝{a}。因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1。

答案　0或1或－1

微考点 大课堂

考点一 集合的概念

【例1】　(1)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为( )

A．3 B．6 C．8 D．9

解析　(1)集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个。故选D。

(2)

第（2）题

【方法锦囊】

1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。

2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性。

【变式训练】

（1）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

解析　(1)a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4。故选B。

（2）

第（2）题及解析

考点二 集合的含义及表示

【例2】(1)

第（1）、（2）题及解析

【互动探究】　本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？

互动探究解析

【方法锦囊】

1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解。

2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题。

【变式训练】

变式训练（1）、（2）及解析

考点三 集合的运算微点小专题

方向1：集合的基本运算

【例3】　(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )

A．{－1,1} B．{0,1} C．{－1,0,1} D．{2,3,4}

解析：由题意得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x<2}，所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}。故选C。

答案　C

【方法锦囊】集合的运算要注意数形结合，特别是数轴，Venn图等。

方向2：利用集合运算求参数

【例4】

例4（1）、（2）及解析

【方法锦囊】参数问题要注意分类讨论和等价转化。

方向3：集合的新定义问题

【例5】

例5

例5解析

【方法锦囊】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素。

【题点对应练】

对应练1及解析

对应练2及解析

对应练3及解析

放飞思维·开启心智

不明代表元素、忽视端点、遗忘空集致误

集合是高中数学中最基本的概念之一，在历年高考中，集合问题常以选择题或填空题的形式出现，主要考查集合的相关概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等，但在平时的学习中，学生往往不能深刻理解这些知识，导致考场上出现各式各样的错误。

一、因忽视代表元素而致误

【典例1】

典例1

【变式训练1】

变式训练1

二、因忽视区间端点而致误

【典例2】 已知集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|a<x<a＋4}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围。

【错解】　因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|a<x<a＋4}，要使A∩B＝∅，需满足a＋4<2或a>3，即a<－2或a>3，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)。

【剖析】　上述解法的错误原因是忽视了集合A＝{x|2≤x≤3}的两个端点值2和3，事实上，

当a＝3时，B＝{x|3<x<7}，满足A∩B＝∅。当a＋4＝2即a＝－2时，B＝{x|－2<x<2}，满足A∩B＝∅。

【正解】　因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|a<x<a＋4}，要使A∩B＝∅，需满足a＋4≤2或a≥3，即a≤－2或a≥3，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)。

【变式训练2】　设集合S＝{x|x>3或x<－3}，T＝{x|a≤x≤a＋8}，若S∪T＝R，则实数a的取值范围是________。

变式训练2解析

三、因忽视空集的特殊性而致误

【典例3】

典例3

【变式训练3】

变式训练3及解析