【原】高中数学-集合知识讲解

集合

一、章节结构图

二、复习指导

1．新课标知识点梳理

在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．

集合知识点及其要求如下：

1．集合的含义与表示

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．

(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受

集合语言的意义和作用．

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3．集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

1．1  集合的概念及其运算(一)

(一)复习指导

本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．

1．集合的基本概念

(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．

(3)集合可分为有限集与无限集．

(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．

(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“”．

2．集合与集合的关系

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含集合A，记作AB(读作A包含于B)，这时也说集合A是集合B的子集．也可以记作B A(读作B包含A)

①子集有传递性，若AB，BC，则有AC.

②空集是任何集合的子集，即A

③真子集：若AB，且至少有一个元素b∈B，而bA，称A是B的真子集．记作AB(或BA)．

④若AB且BA，那么A=B

⑤含n(n∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是：2的n次方个．

(二)解题方法指导

例1．选择题：

(1)不能形成集合的是(    )

(A)大于2的全体实数

(B)不等式3x－5＜6的所有解

(C)方程y=3x+1所对应的直线上的所有点

(D)x轴附近的所有点

(2)设集合，则下列关系中正确的是(    )

(A)xA                        (B)xA                    (C){x}∈A                (D){x}A

(3)设集合，则(    )

(A)M=N                                                       (B)MN

(C)MN                                                       (D)M∩N=

例2．已知集合，试求集合A的所有子集．

例3．已知A={x｜－2＜x＜5}，B={x｜m+1≤x≤2m－1}，B≠，且BA，求m的取值范围．

例4*．已知集合A={x｜－1≤x≤a}，B={y｜y=3x－2，x∈A}，C={z｜z=x²，x∈A}，若CB，求实数a的取值范围．

1．2集合的概念及其运算(二)

(一)复习指导

(1)补集：如果AS，那么A在S中的补集_sA={x｜x∈S，且x≠A}．

(2)交集：A∩B={x｜x∈A，且x ∈B}

(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}这里“或”包含三种情形：

①x∈A，且x∈B；②x∈A，但xB；③x∈B，但xA；这三部分元素构成了A∪B

(4)交、并、补有如下运算法则

全集通常用U表示．

_U(A∩B)=(_UA)∪(_UB)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

_U(A∪B)=(_UA)∩(_UB)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(5)集合间元素的个数：

card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)

集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．

(二)解题方法指导

例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(_UM)∩(_UN)是(    )

(A)                           (B){d}                      (C){a，c}                 (D){b，e}

(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为(    )

(A)M∩N                      (B)(_UM)∩N              (C)M∩(_UN)              (D)(_UM)∩(_UN)

例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为(    )

(A)(M∩P)∩S                                                (B)(M∩P)∪S

(C)(M∩P)∩(_US)                                          (D)(M∩P)∪(_US)

例3．(1)设A={x｜x²－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为____；

(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a的取值集合为____．

例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且xB}．

(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于(    )

(A)M                           (B)N                         (C)｛1，4，5 }        (D){6}

(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于(    )

(A)P                            (B)M∩P                   (C)M∪P                  (D)M

例5．全集S={1，3，x³+3x²+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

例 题解 析

1．1  集合的概念及其运算(1)

例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“”以及x与{x}的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．

解：(1)选D．“附近”不具有确定性．(2)选D．(3)选B．

方法一：故排除(A)、(C)，又，故排除(D)．

方法二：集合M的元素集合N的元素

．而2k＋1为奇数，k＋2为全体整数，因此MN．

小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．

例2分析：本题是用{x｜x∈P}形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x∈N．

解：由题意可知(6－x)是8的正约数，所以(6－x)可以是1，2，4，8；

可以的x为2，4，5，即A={2，4，5}．

∴A的所有子集为，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．

小结：一方面，用{x｜x∈P}形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；另一方面，含n(n∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是：个．

例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．

解：由题设知，

解之得，2≤m＜3．

小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B≠”，则不要漏掉A的情况．

例4*分析：要首先明确集合B、C的意义，并将其化简，再利用CB建立关于a的不等式．

解：∵A＝[－1，a]，

∴B={y｜y=3x－2，x∈A}，

B=[－5，3a－2]

(1)当－1≤a＜0时，由CB，得a²≤1≤3a－2无解；

(2)当0≤a＜1时，1≤3a－2，得a=1；

(3)当a≥1时，a²≤3a－2得1≤a≤2

综上所述，实数a的取值范围是[1，2]．

小结：准确理解集合B和C的含义(分别表示函数y=3x－2，y=x²的值域，其中定义域为A)是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解．

1．2  集合的概念及其运算(2)

例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律．

解：(1)方法一：∵_UM={b，c}，_UN={a，c}

∴(_UM)∩(_UN)=，答案选A

方法二：(_UM)∩(_UN)=_U(M∪N)=

∴答案选A

方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化．

∴答案选A

(2)同理可得答案选B

小结：交、并、补有如下运算法则

_U(A∩B)=(_UA)∪(_UB)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

_U(A∪B)=(_UA)∩(_UB)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．

解：∵阴影中任一元素x有x∈M，且x∈P，但xS，∴x∈_US．

由交集、并集、补集的意义．

∴x∈(M∩P)∩(_US)答案选D．

小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．

例3解：(1)由已知，集合A={－1，3}，

∵A∪B=A得BA

∴分B=和两种情况．

当B＝时，解得a=0；

当时，解得a的取值

综上可知a的取值集合为

(2)由已知，

∵M∩N=MMN

当N=时，解得a=0；M={0}  即M∩N≠M  ∴a=0舍去

当时，解得

综上可知a的取值集合为{1，－1}．

小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A∩B)A，(A∩B)B；(A∪B)A，(A∪B)B；A∩_U A=，A∪_UA=U；A∩B=AAB，A∪B=BAB等．

(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．

例4解：(1)方法一：由已知，得N－M={x｜x∈N，且xM}={6}，∴选D

方法二：依已知画出图示

∴选D．

(2)方法一：M－P即为M中除去M∩P的元素组成的集合，故M－(M－P)则为M中除去不为M∩P的元素的集合，所以选B．

方法二：由图示可知M=(M∩P)∪(M－P)

选B．

方法三：计算(1)中N－(N－M)={2，3}，比较选项知选B．

小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题．

例5^*解：假设这样的x存在，∵_SA={0}，∴0∈S，且｜2x－1｜∈S．

易知x³＋3x²＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，

解之得，x=－1．

当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．

∴存在实数x=－1满足_S A={0}．