集合的概念与运算

集合的概念与运算

 

二. 本周教学重、难点：

理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集与全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合，强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，加强利用几何直观性研究问题的训练，注意用文氏图解题。

 

【典型例题】

[例1] 设，之间的关系是（    ）

A.     B.     C.     D.

解：

∴

答案：D

 

[例2] 已知，，若

，求实数的取值范围是什么?

解：集合A可看成圆上所有的点构成的点集。

集合B则为线段上所有的点构成的点集。

，即圆与直线无公共点

由图易知，只需线段两端点（）和（1，）都在圆内或都在圆外即可，故

即

解得或或

 

[例3] 已知，，，，求

解：∵      ∴    又

∴ 或

① 若   ∴ 则

不成立

② 若

∴ ，则，   成立

∴

 

[例4] 已知：，，若，求的取值范围。

解：

① 若，   ∴

② 若，则   ∴

由①②知：

 

[例5] 已知，，若，求的取值范围。

解：    ∵    ∴ ，

① 时，   ∴ 或

② 时，    ∴

③ 时，   无解

④ 时，   ∴

∴ 由①~④知：或或

 

[例6] 已知，若是单元素集，求的取值范围。

解：由是单元素集，得有且只有一个实数解

消得，

设   则，

由出发

① 得

② 得此时方程有另一解   ∴ 舍去

③ 抛物线与轴相切    即

解得（时，舍）这时综上或

 

[例7] 设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为且，则等于（    ）

A. N    B.     C.     D. M

 

解：为：

    答案：B

 

[例8] 设数集，且M、N都是集合

的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是什么?

解：集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合的“长度”为1，故的“长度”的最小值为

 

[例9] 集合A是由具备下列性质的函数组成的：

① 函数的定义域是；② 函数的值域是；③ 函数在上是增函数，试分别探究下列两小题：

（1）判断及是否属于集合A？并简要说明理由。

（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数，不等式是否对任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论。

解析：（1）函数不属于集合A，因为的值域是，所以不属于集合A（或因为时，，不满足条件）

（）在集合A中

（2）

∴ 不等式对任意的总成立。

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 下面表示同一集合的是（    ）

A.

B.

C. ，

D. ，

2. 已知集合A={0，2，3}，，则集合B的子集的个数是（    ） 

    A. 4    B. 8    C. 16    D. 15

3. 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的个数是（    ）

    A. 9    B. 8    C. 7    D. 6

4. 设全集U=R，，，则等于（    ）

A.                            B.

C.                         D.

5. 已知集合，，则有（    ）

    A. Q   B.     C.     D.

6. 已知集合，

则等于（    ）

A.    B.     C.     D.

 

二. 解答题：

1. 已知

（1）设，试判断与A之间的关系；

（2）任取，试判断与A之间的关系；

（3）能否找到使且？

2. 已知，，若，则实数的取值范围是         。

3. 记函数的定义域为A，（）的定义域为B。

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围。

【试题答案】

一.

1. D

    解析：A中的M、N表示点集，而（1，2）和（2，1）不是同一点，A错误；B中的M是数集，N为点集，故B错误；C中的M是空集，而N中含有元素，故C也错误。

2. C

    解析：如果中有一个为0，则；如果，则；如果，则；如果或，则，于是B={0，4，6，9}，∴ B有个子集。

3. B

    解析：由题意P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}

4. C

    解析：或，∴ ，选C。

5. D

    解析：集合P由圆上的点所组成，集合Q由椭圆上的点所组成，其短半轴，画出大致图象，知两曲线没有公共点，故选D

6. C

解析：由题意即两向量集合中的公共向量构成的集合，故令

∴

解得故

 

二.

1. 解析：

（1）由于，则

由于，则

由于，则

（2）由，设

则（其中），则

由于

        

（其中），则

（3）假定能找到（其中）符合题意

则

则，于是可以取，则能找到且能满足，符合题意。

2. 解析：方法一：由，可知由方程和方程构成的方程组无解，即方程无解，整理得，由解得或

方法二：集合A可看成圆上所有的点构成的点集，集合B则为直线上所有的点构成的点集。，即圆与直线无公共点，由图易知或。

3. 解析：

（1）由，得

∴ 或，即

（2）由，得

∵     ∴

∴

∵     ∴ 或即或

而    ∴ 或

故当时，实数的取值范围是