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数学专题一：集合与常用逻辑用语
发布：徐雄 时间：2009-3-19 20:50:27 来源：兴庆区教育局信息中心
一、考纲解读
1、考纲要求
（1）集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。 ②能用自然语言、图形语言、符号语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。③能使用韦恩图表达集合的关系及运算。
（4）命题及其关系
①理解命题的概念。②了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系。③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
（5）简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
（6）全称量词与存在量词
①理解全称量词与存在量词的意义。②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2、考纲解读
集合与常用逻辑用语是高中数学的重要重要基础知识，是高考的必考内容。本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是对集合的运算、集合的有关术语和符号、集合的简单应用、命题的真假判断、四种命题的关系、充要条件的判定、逻辑联结词、全称量词与存在量词等作基础性知识的考查，题型多以选择题、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言为表现形式，结合逻辑知识考查数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。
二、要点知识分析
1、集合的概念：
（1）集合中元素特征：确定性，互异性，无序性；
（2）集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
（1） 集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；
②描述法。
2、两类关系：
（1）元素与集合的关系，用
 或 表示； （2）集合与集合的关系，用
 ， ，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算
(1)交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，
CUA=｛x|x∈U，且x
A｝，集合U表示全集；(2)运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），
CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。
4、命题：
(1)命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；
(2)复合命题的形式：p且q，p或q，非p；
(3)复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
(4)四种命题：记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件
(1)定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；
(2)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合
 ，则当AB 时，p是q的充分条件.BA时， q是p的充分条件.A=B时，p是q的充要条件；(3)当p和q互为充要条件时，体现了命题等价转换的思想。
6、全称量词和存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。
(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等。
(3)全称量词用符号“
 ”表示，存在量词用符号“”表示。7、全称命题和特称命题及其否定
(1)含有全称量词的命题叫全称命题。
(2)含有存在量词的命题叫特称命题。
(3)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
(4)
的否定为：非；的否定为：。三、重点、难点、易错点分析
重点是集合的运算、充要条件的判定、四种命题的关系以及对 “或”、“且”、“非”命题的否定及其真假判定；难点是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言为表现形式，结合逻辑知识,考查数学思想、数学方法和数学能力的题型解答；易错点是将否命题和命题的否定混淆，对全称命题与特称命题的否定易出错,充要条件的判定易出错。
四、典型例题
例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
例3、已知命题①
②使，写出这两个命题的否定。例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。
例5、已知命题
；命题，求使 为真命题的的取值范围。五、同步练习
（一） 选择题
1、设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是
A、{a}=M B、M
{a} C、{a}M D、M{a}2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是
A、[0，2] B、（-2，2） C、（0，2） D、（0，2）
3、设全集为
，若，则集合可表示为A、
B、 C、 D、4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数
A、11 B、10 C、16 D、15
5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是
A、15 B、16 C、31 D、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是
A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
8、已知集合
，则A、
B、 C、 D、9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
A、0<m≤1或m<0 B、0<m≤1 C、m<1 D、m≤1
10、已知命题
，则A、
B、 C、
D、（二）填空题
11、已知M={
}，N={x|，则M∩N=__________。12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最是___人。
13、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。
14、非空集合p满足下列两个条件：（1）p
{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p的个数是__________。15、命题
，则成立的 条件。16、若集合
，则 。六、考题回放
（一）选择题：
1.（全国二2）设集合
，( )A．
B． C． D．2.(安徽卷1)若
为全体正实数的集合，则下列结论正确的是（ ）A．
B. C． D．3.（安徽卷4）
是方程至少有一个负数根的（ ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A．
B． C． D．5.（福建卷1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于( )
A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x＜3} C.{x|1＜x＜3} D.￠
6.（广东卷1）第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A.A
B B.BC C.A∩B=C D.B∪C=A7.(海南卷1)已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ）
A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2)
8.（湖北卷3）若集合
,则（ ）A.
是的充分条件，不是的必要条件B.
不是的充分条件，是的必要条件C．
是的充分条件，又是的必要条件.D.
既不是的充分条件，又不是的必要条件9.（湖南卷1）已知
，，，则( )A．
C． D. 10.（江西卷1）“
”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11.（江西卷2）定义集合运算:
.设,,则集合 的所有元素之和为 （ ）A．0 B．2 C．3 D．6
A．
B． C． D．13.(山东卷1)满足
，且的集合的个数是A．1 B．2 C．3 D．4
14.（陕西卷2）已知全集
，集合，，则集合A．
B． C． D．15.(天津卷1)设集合
，，，则=A．
B． C． D．16.（浙江卷1）已知集合
，，则A.
B. C. D.（二）填空题：
1.（福建卷16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、
∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）2.（江苏卷4）A=
，则A Z 的元素的个数 ．3.（上海卷2）若集合
，满足，则实数a = ．4.（重庆卷13）已知集合
，则 . 七、专题测试
（一）选择题：（每小题5分，共60分）
1．当
时，下列四个集合中是空集的是（ ）A．
B． C． D.2．定义集合
，若，则的子集个数为（ ）A．
B． C． D．3．若
、均为非空集合，则的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知
若，则实数的取值范围是（ ）A．
B． C． D．5．命题“
恒成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）A．
B． C． D．6．已知
为实数集，，则（ ）A．
B． C． D．7．设集合
，则满足的集合的个数是（ ）A．
B． C． D．8．设全集，则右图中的阴影部分表示的集合是（ ）A．
B． C． D．9．命题“对任意的
”的否定是（ ）A．不存在
B．存在 C．存在
D．对任意的10．已知命题
.给出下列四个命题：① ②，③，④，其中真命题的个数是（ ）A．
 B． C． D． 11．集合
 ，若“ ”是“ ”的充分条件，则 的取值范围是（ ）A．
 B． C． D． 12．命题
 的充分不必要条件；命题 的充分不必要条件，则（ ）A．
 B． C． D． （二）填空题（每小题5分，共20分）
13．若集合
 只有一个元素，则 .14.命题:
 的否命题是 .15.若集合
 ,则满足条件的实数 = .16.已知
 .(三)解答题(共70分)
17.(本大题10分)已知集合
 ,若 ,求 .18. (本大题12分)已知集合
 的定义域为 .(1)若
 ,求实数 的值;(2)若 ,求实数的取值范围.19. (本大题12分)已知命题
  有两个不相等的负实根;命题 的解集为 ,若 ,求 的取值范围.20. (本大题12分)设集合
 .(1)求集合
 ; (2)若不等式 .21. (本大题12分)已知集合
 .(1)
 (2) .22. (本大题12分)已知数列
 .(1) 求证:若数列
 是等比 数列,则数列 也是等比数列是真命题;(2) 写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
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