【原】麻省理工线性代数学习-第7讲

1.计算零空间Ax=0

举例，矩阵A(3x4):

列2是列1的两倍，列向量是线性相关；行3=行1+行2，行向量也相关；

消元过程不会改变解，因此零空间也不会变；

列1和列3存在主元，消元得到阶梯形矩阵U，echelon form;

矩阵的主元个数称为矩阵的秩，本例是2；rank(A)=2;

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2.主变量pivot variables-自由变量free variables

继续上例，进行回代；Ux=0与Ax=0 解和零空间相同；

本例中，列1和3是主列pivot column,列2和4是自由列free column;

自由列表示可以自由或任意分配数值；然后求出主列数值；

主 自 主 自

令自由变量逐次为1，得到：

      

则本题的零空间为，

因此，求零空间：首先消元确定主列和自由列，然后对自由变量分配数值确定主变量；就能求出零空间，即Ax=0的所有解； 

那么对于mxn的矩阵，它的主元个数即秩为r，则自由变量个数为n-r;

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3.简化行阶梯形式矩阵rref

简化行阶梯矩阵：即矩阵主元上下皆为0，主元为1；

该例得到一个2x2的单位矩阵，即主列和主行交汇的位置：

根据简化行阶梯形式矩阵回代：

该消元过程不改变方程解，即不改变零空间，然后回代令自由变量逐次为1其他为0；

 

I(单位阵)   F(自由阵)

典型rref形式：

I是rxr，F是rx(n-r)

构建零空间矩阵N，各列是由特解组成：

 

N中I部分相当于逐次令自由变量为1其余为0(单位阵，取决于自由变量)，然后得到主变量；但该过程解向量内部元素位置会发生变化，因为主变量和自由变量分别成组；

在此举例，上面例子转置，

 

rank(A)=2,特解有1个（自由变量个数）,l令自由变量逐次为1，解出主变量；得到零空间；

根据，

自由变量个数为1，则N的列数为1，然后F部分为1，1；