【原】麻省理工线性代数学习-第8讲

1.Ax=b的可解性

解存在情况：

a、0解，

b、有解(唯一解、多解)，如何判断？

举例，

什么样的b会有解？

消元告诉我们必须，b3=b1+b2;

将A和b形成增广矩阵，进行消元；

                                           主列1   主列3

消元后第三行左侧为0，若有解则必须满足0=b3-b2-b1;

可解性：有解时右侧向量b必须满足的条件，b属于A的列空间；

            A行向量线性组合等于零行，b在相同线性组合也等于0，b in C(A)；

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2.Ax=b的算法

求Ax=b的全部解，

a.从寻找第一个解开始，特解,

有很多方法，其中较为简单的一种，将所有自由变量设为0(自由变量可任取)

然后解出主变量，x2,x4是自由变量，

b.关键是：在特解基础上加上零空间中任意x,;

(零空间参考第7讲）

注：求特解时令所有自由变量为0，求主变量；

       求零向量时令所有自由变量逐次为1，求主变量；

3.满秩

考虑秩为r的mxn的矩阵A,秩的定义？

1.主元的个数;

2.r≤m,r≤n;

满秩，分为行满秩r=m，列满秩r=n;

列满秩：

列满秩时，r=n，自由变量r-n=0,主变量为n，每列都有主变量，

这是Ax=0,零空间N(A)=0 ，只有零向量，没有自由变量可以赋值；

此时Ax=b的解无解或唯一解；

举例，

该例列向量线性无关，行向量线性相关，该例零空间只有零向量

则该题解0或唯一解，则取决于向量b，是否满足消元后为0；

即b是否在列向量空间；

 行满秩：

行满秩时，r=m,则主元个数为m,自由变量个数为n-m,

此时对于Ax=b,对于任意b都有解；因为消元时不会出现零行，b没有要求；

行满秩总有解；

举例，

                                      I          F

秩=行=列：

只有唯一解，零向量；

该矩阵是方阵，具有可逆矩阵；

综上所述，

        1.r=m=n,行最简形R=I, 唯一解；

        2.r=m<n,R=[I  F],无穷解；

        3.r=n<m,,0或1解；

        4.r<m,r<n,,0或无穷解；

矩阵的秩决定了方程解得数量；