【原】麻省理工线性代数学习-第18讲-特征值和特征向量

特征值和特征向量是针对于方阵而言的，它们是一群独特的数字，本节主要讨论特征值和特征向量，下一节将具体介绍如何运用以及为什么要求解它们，下面进入本讲内容。

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给定矩阵A，作用在向量x上，即得到向量Ax，这些向量中我们感兴趣的是，那些变换前后方向一致的向量，这些向量比较特殊，因为对于多数向量而言，Ax显然是不同方向的。这部分特殊向量能使得Ax平行于x，它们就是特征向量Eigenvectors，即特征向量满足，

其中，λ是一系数，它就是特征值（特征值可以是零，那就转化成Ax=0，显然特征向量就是矩阵A的零空间，即如果矩阵A是奇异的，那么特征值是0）。现在，特征值和特征向量都是未知量，需要一个巧妙的方法来求解它们，在引入行列式和公式前，我们先看一些已知矩阵的例子：

1、投影矩阵

假如给定平面，称为投影矩阵P，可以视作前面方程的A，那么投影矩阵P的特征向量和特征值有哪些？

对于一个投影矩阵，给定向量b，那么矩阵作用在上面，投影得到Pb，那么b是特征向量吗？显然不是，因为投影后与原向量方向不同。显然那些正好落在平面上的向量是特征向量，即任意平面上的向量投影之后任然在平面内，即Px=x，特征值显然λ=1。除此之外，垂直于平面的向量，它也是平面的特征向量，此时投影等于0，即Px=0=0x，特征值为0。

2、置换矩阵

该矩阵是交换两行，所以特征向量可以是[1 1]，此时特征值是1；特征向量也可以是[1 -1]，特征值是-1。（注：nxn矩阵共有n个特征值且特征值之和等于对角线元素和）。

3、求解特征向量和特征值

现在开始解决Ax=λx，如何求解特征值和特征向量。将等式变形转化为，

其中λ和x均是未知，但该等式说明，对于不为零向量的x，若该等式成立，则A-λI矩阵应满足行列式值为0，是奇异矩阵，否则只存在零特征向量和零特征值，

此时，转化成只有λ的方程，称为特征方程或者特征值方程。所以，首先解出n个特征值(可能存在重复的情况)，在根据特征值代入原方程，根据消元法求得特征向量。

A、举例，现有矩阵A，求解特征向量和特征值，

每个方向特征向量只选择一个即可。这个例子似乎和前面置换矩阵有所类似，本例相当于前面置换矩阵增加3个单位阵后，特征值增加3但特征向量仍然相同，

如果已知矩阵A的特征值和特征向量，以及B的特征值，一般A+B或AB的特征值不满足线性关系或者乘积关系，因为此时特征向量一般不同，但B是单位矩阵的倍数，显然就没问题。

B、举例，现有旋转矩阵Q，旋转90°，典型正交矩阵，

根据迹（对角线元素之和），知道特征值之和是0，而行列式值等于特征值乘积；

旋转矩阵对向量旋转后，与原向量垂直，似乎不满足特征值和特征向量的定义，

显然两个特征值分别是i和-i，但它们不是实数。事实上，如果矩阵是对阵的，就不会有复数特征值，若我们规定矩阵是对阵的或者接近对称的，那么特征值就是实数，如果越不对称，比如反对称矩阵，其特征值就是纯虚数，这中间介于对称和反对称之间的矩阵，部分对称或部分反对称，可能会有实特征值和复数特征值。

C、举例，更糟糕的情况，矩阵A，对于三角阵，特征值就在对角线上，

特征值就是3和3。这个矩阵为何糟糕？问题在于这个矩阵的特征向量，

这是一个退化矩阵，只有一个方向上的特征向量，而不是两个，这对重复的特征值是可能的，这造成了特征向量的短缺，没有第二个无关的特征向量。

下一讲将继续特征向量和特征值的应用等。