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本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第二十六课时：对称矩阵和正定性
本讲是关于对称矩阵的知识，AT
=A，理解对称矩阵的特征值和特征向量，矩阵的特殊性应该表现在特征值和特征向量上。
两个待证明性质
实对称矩阵的特征值也是实数
在对称矩阵的特征向量中，能挑出一组是垂直正交的。（如果特征值互不相同，那么每个特征值的特征向量是在单独的一条线上，那些线是垂直正交的；如果特征值重复，那就有一整个平面的特征向量，在那个平面上，我们可以选择垂直的向量），我们可以将这组特征向量转化为标准正交向量。
单位矩阵
单位矩阵是对称矩阵，特征值都为1，每一个向量都是特征向量
通常情况下，矩阵A可表示为A=SΛS-1，
当A是对称矩阵时，A=QΛQ-1=QΛQT，Q表示标准正交矩阵，这里是方阵，因为对称矩阵的S是垂直正交的，所以可转化为Q，同时标准正交矩阵Q有：Q-1QT，所以以上式子是对称矩阵的分解形式，分解成特征向量和特征值的组合。等式右边取转置有得到自己，所以A是对称矩阵。
数学上叫这个为谱定理，谱就是指矩阵的特征值集合，一些纯东西组合。
力学上叫这个为主轴定理，从几何图形上看，它意味着如果给定某种材料，在合适的轴上来看，它就变成对角化的，方向就不会重复。
问题1：为什么实对称矩阵的特征值是实数
加上有复数，那这个复数与对应的实特征值共轭
Ax=λx，那么
   同时，向量x乘以其共轭复数向量的转置不等于0,（一个向量为复向量，那么它乘以其共轭复向量得到实部的平方加上虚部的平方，为其长度平方）。
拥有实数特征值，相互正交的特征向量的矩阵是好矩阵，实对称矩阵AT=A满足，如果是复矩阵，那么不但要满足转置相等，还要共轭，即：
 进一步探索对称矩阵，某单位向量，乘以自己的转置得到的是什么矩阵：投影矩阵，记得投影矩阵的重要性质：PT=P
 每一个对称矩阵都是一些相互垂直的投影矩阵的组合
实对称矩阵的特征值的符号与主元的符号一致。正主元的个数等于正特征值的个数。假设50×50的对称矩阵，将矩阵平移7倍的单位矩阵，这样就将特征值平移了7，然后可以计算矩阵的主元，就会知道原矩阵的特征值，多少大于7，多少小于7。
特征值之积等于主元之积，因为特征值之积等于行列式，主元之积为行列式。
正定矩阵
正定矩阵是对称矩阵的一个子类。
如果一个实对称矩阵的特征值都是正数，那么它是正定矩阵。
正定矩阵的主元也都是正数。
正定矩阵的所有子行列式都是正数
正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。
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