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单视角几何前言
多视角5-6-7主要讲解单视角相机几何。 第5讲--涉及3D场景空间投影至2D平面，相机映射以矩阵形式表示，在点的映射情况下，3×4矩阵P实现三维空间点的齐次坐标到图像平面点的齐次坐标的映射。该矩阵具有11个自由度和相机的性质，如相机中心和焦距均可从矩阵中提取出来。尤其是相机内参，如焦距、横纵比都打包成一个3×3的矩阵K，该矩阵可以通过矩阵P的简单分解得到。此外，还有另外两个重要类型的相机矩阵：有限相机和中心在无限远的相机，例如表示平行投影的仿射相机。 第6讲--给定某集合，该集合关于世界点和图像点的对应关系，估计相机矩阵P。第6讲也会描述相机上约束如何有效地引入估计的方法，以及镜头径向失真的校正方法。 第7讲--涉及三个主题。第一个，相机对几何体的作用，这包括直线、二次曲线、二次曲面、无穷远点。无穷远点和直线的图像是消失的点和直线。第二个，相机标定：在没有计算整个矩阵P时，相机标定过程中需要计算内参K。特别需要介绍的是，内参和绝对二次曲线的关系，以及有消失点和直线来标定相机的方法。最后，标定二次曲线，这是实现可视化相机标定的一种简单几何手段。 相机模型 相机，实现3D物体与2D图像间的映射。本讲关注的相机是中心射影。第5讲会介绍几种相机模型，它们以某种性质的矩阵表示相机映射。我们将看到，所有相机模型的中心射影都是一般射影相机的具体化。使用射影几何可以具体分析这种一般相机模型。我们可以证明，相机的几何实体，如射影中心和图像平面，都可以通过它的矩阵形式计算。一般射影相机模型的具体化继承了它的性质。相机模型可分为两大类---用有限中心建立的相机模型，用无限远为中心建立的相机模型。无限远相机中，仿射相机最为重要，因为它是平行投影的推广。在5.1中，我们将从最具体最简单的相机模型开始，即基本的针孔摄像机，然后通过一系列升级逐步具体化该模型。我们所推导的模型主要是针对CCD类传感器，但也可应用于其他相机，例如X光图片，扫描图片。基础针孔模型.我们考虑空间点中心投影到平面。令投影中心是欧式坐标的原点，平面z=f，它称为图像平面或者焦平面。在针孔相机模型作用下，空间坐标为X=(x,y,z)T的点可映射到图像平面的点，即点X和投影中心连线与图像平面的交点，如图所示。根据三角形相似，我们可以计算，点(X,Y,Z)T映射到图像平面上点(fX/Z,fY/Z,f)T。忽略最后一个图像坐标，我们得到(5.1)，(5.1)描述了从世界坐标到图像坐标的中心投影映射，从欧式三维到欧式2维。投影中心也称为相机中心，也称为光心。从光心到图像平面的垂直直线称为主轴或者相机主射线。主轴与图像平面的交点称为主点。经过相机中心与图像平面平行的平面称为相机的主平面。
齐次坐标下的中心投影.如果世界和图像点都采用齐次向量表示，那么中心投影可通过两个齐次坐标的线性映射表示。尤其是(5.1)以矩阵乘法的形式表达，(5.2),矩阵形式可写为diag(f,f,1)|[I |0]，其中diag(f,f,1)是对角矩阵，[I | 0]是分为左侧3×3单位矩阵块和列向量(零向量)。我们现在引入记号X是4维齐次坐标(X,Y,Z,1)T表示的世界点，x是3维齐次坐标表示的图像点，P表示3×4的齐次相机投影矩阵，那么(5.2)进一步紧凑的写为，x=PX，它定义了中心投影的针孔模型的相机矩阵主点偏移.表达式(5.1)假设，图像平面坐标原点是在主轴上，但实际中，也许不是这样，所以一般存在映射，(X,Y,Z)T--->(fX/Z+px,fY/Z+py)T(px,py)T是主点的坐标。这个方程以齐次坐标可以方便地表示，(5.3)矩阵K称为相机标定矩阵。在(5.5)中，我们将(X,Y,Z,1)T写作XCAM，强调相机处于欧式坐标系的原点，相机主轴指向Z轴。点XCAM按此坐标系表示，这样的坐标系也称为相机坐标系。相机旋转与平移.一般来说，空间点以另一个不同欧式坐标系表示，称为世界坐标系。相机坐标系与世界坐标系两个坐标系通过旋转和平移产生关联，如图所示。如果 是一个三维非齐次向量，表示世界坐标系下一个点的坐标， CAM表示相机坐标系下同一个点，那么我们可以写为CAM=R(- )，其中 表示在世界坐标系中相机中心的坐标，R是3×3旋转矩阵，表示相机坐标系的方向。这个方程以齐次坐标的形式是，(5.6)，其中x是在世界坐标系中。这是基于针孔相机下的一般形式映射。我们可以证明，一般针孔相机，P=KR[I | -]，具有9自由度：3个因为K(元素f,px,py)，3个因为R，3个因为。K中包含的参数称为相机内参或者相机内部方向。参数R和使相机方向和位置与世界坐标系产生关联，称为外参或者外部方向。通常为方便起见，并不需要把相机中心显式化，世界到图像的变换可表示为CAM=R+t，在这种情况下，相机矩阵可简化为，(5.8)根据(5.7)，t=-R.
CCD相机.推导的针孔相机模型假设，图像坐标是欧式坐标并且两个轴方向具有相同尺度。在CCD相机情况下，存起非方形像素的可能。如果图像坐标以像素形式测量，那么这将对每个方向引入不同尺度系数产生影响。尤其是，如果x和y方向的每个单元距离的像素数量是mx和my，那么从世界坐标到像素坐标的变换根据(5.4)左乘系数矩阵diag(mx,my,1)，因此，CCD相机的标定矩阵一般形式是，(5.9)，其中αx=fmx，αy=fmy，分别表示x和y方向像素维度上的相机矩阵长度。类似地，0=(x0,y0)是像素维度上的主点，坐标x0=mxpx，y0=mypy。因此，CCD相机具有10个维度。有限射影相机.为增加一般性，我们考虑形如如下形式的标定矩阵，(5.10)新增参数s被视作扭曲参数，扭曲参数0代表大多数标准的相机。但是，在某种非寻常例子中(5.2.4中会介绍)，它可能是非零值。其中，标定矩阵K采用(5.10)的形式，称为有限投影相机。有限投影相机具有11个自由度。这正好与3×4矩阵的自由度相同，定义在任意比例下。注意，P的子矩阵块，即左矩阵块3×3，等于KR，是非奇异矩阵。反之，任何3×4矩阵的左3×3矩阵块为非奇异矩阵的矩阵P都是有限投影相机的相机矩阵，因为P可以分解为P=KR[I | -]。事实上， 令M是矩阵P的左矩阵块3×3，我们可以分解M为M=KR，其中K是(5.10)中的上三角矩阵，R是旋转矩阵。这种分解本质上是RQ矩阵分解。因此矩阵P可以写成,P=M[I | M-1p4]=KR[I | -]- 有限射影相机的相机矩阵集合与左3×3矩阵块为非奇异矩阵的3×4齐次矩阵集合是一一对应的。
一般射影相机.射影相机层次化的最后一步是，移除左3×3矩阵块的非奇异约束。一般射影相机通过任意秩为3的齐次3×4矩阵表示，它的自由度是11，秩为3的要求是因为，如果秩小于3，那么矩阵映射的范围将是一条直线或点，而不是整个平面，换句话说不是整个平面。
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