【原】梁昊 | How To Solve Schrödinger's Equation 4.1拉伸变换&4.2复旋转与单粒子能谱

作者介绍：

北京大学 原子分子物理博士

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目录

4.1 拉伸变换

4.2 复旋转与单粒子能谱

 

注：这一系列文章将介绍经典量子系统，仍在持续更新中。

今日更新第一二部分拉伸变换与复旋转与单粒子能谱。

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正文

01

拉伸变换

这一系列文章将介绍经典量子系统

中的拉伸变换(dilatation transformation)。我了解到这个东西是源于去年在查找他人数值求解含时薛定谔方程的文章中所使用的复标度延拓(exterior complex scaling)技术的原理时，最终找到的东西。断断续续的研究了好几个月，也没能啃下背后的数学，只是有了一些定性的理解。

本文将简要的介绍这个变换，阐述其中关键的Balslev-Combes定理以及对其的理解（证明就看哪位大佬把原文看明白了给讲讲）；随后介绍其最初在研究原子分子系统自解离态中的应用；最后讲讲其用于薛定谔方程中的边界吸收，以及与其等价但著名得多的电磁场的完美匹配层(perfect matched layer).

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02

复旋转与单粒子能谱

注意，此处得到的哈密顿量并不是厄米的，但是我们依旧可以谈论其本征值问题，只是需要注意区分左本征函数和右本征函数。

那么我们知道，经过变换后的哈密顿量相应的束缚态能量不变，而波函数则要经历相应的复拉伸变换

说到这里可能有人就要犯迷糊了，这套操作不也适用于平面波吗，为啥那儿就是波函数不变而本征值变了呢？

我们得到的将是一个在无穷远处发散的函数！这显然不是平方可积的。

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这样，我们就可以得知，就本征值问题而言，实轴上的问题和在复平面上转动了一个角度的问题是一致的，复拉伸变换并不会改变束缚态的本征值。

但是，对于在无穷远处渐进于平面波的连续态，其在无穷远处的大圆弧上的行为并不是那么优秀，自然不能通过这种方式来转换，更不要提这个泛函本身就是无穷大比无穷大的不定式了。

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到了这里，我们可以给出Balslev-Combes定理最简单情形的表述了。对于一个单粒子系统，如果势场充分解析，并在无穷远处趋于零，那么我们知道该系统的能谱包括两个部分：能量为正，波函数在无穷远处趋近于平面波的连续谱，和余下的表现为束缚行为的离散谱。对于这样一个系统，若对其作一个复拉伸变换，则连续谱会绕原点在复平面上旋转 ，而离散谱不变。如下图所示

摘自 Reinhardt, W.P. (1982). Complex Coordinates in the Theory of Atomic and Molecular Structure and Dynamics. Annual Review of Physical Chemistry 33, 223–255.

当然，从前面模型系统中的讨论中我们也可以看到，这个定理不仅仅适用于纯粹的复拉伸变换——积分轨迹在中间随便怎么取，只要在正负无穷远处渐进于一个复转动就成。