【原】梁昊 | 4.3 共振态与Balslev-Combes定理

作者介绍：

北京大学 原子分子物理博士

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目录

4.1 拉伸变换

4.2 复旋转与单粒子能谱

4.3 共振态与Balslev-Combes定理

 

注：这一系列文章将介绍经典量子系统，仍在持续更新中。

今日更新第三部分共振态与Balslev-Combes定理。

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正文

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共振态与Balslev-Combes定理

我们转过头来谈一点物理。我们知道，电磁真空中，一个原子系统，除去基态外，其余本征态都是不稳定的——与外电磁场基模的耦合会使得其自发地向下跃迁最终到达基态，从而拥有一个有限的寿命 T（将原子放在微腔内可以极大的改变这种耦合，从而表现出其他的行为，但这就是另一个故事了），我们常常会给本征能量加上一个虚部 -i/2T 来唯象的描述这个寿命。如果不计这个耦合，我们会发现仍然有一些本征态是天生不稳定的——随着时间推移，它会自发变成一个自由电子和一个离子实！下面我们简单解释一下这个情况是怎么发生的。

考虑氦原子，这是一个双电子体系，暂不考虑自旋以及交换对称性，哈密顿量写成

当我们取的时候自然不会出现问题，但引入非零的之后，这两个态之间的跃迁矩阵元不为零，需要用简并微扰论来处理这两个能级的移动。但有趣的是，我们需要注意到这个连续态的解一定是严格的：当一个电子在无穷远处时，是否考虑两电子间的相互作用完全不会影响；而束缚态即便是因为电子排斥作用的影响发生了能级移动，仍然存在另一个连续态能量与其相同——共振始终存在。

束缚态与连续态之间的共振是一个很有趣的话题，依具体情形分别有Fano共振、Feshbach共振等等之名。现在大家普遍认为，【考虑到粒子总是向往着更大的自由空间】，类似于 |2S，2S>这样的态是一个暂稳态，会自发地跃迁到 |1S,k>上去，这个过程被称为自解离(autoionization)，而这个态的本征能量可以用一个复数描述。

事实上，这个暂稳态本质上和光场导致的暂稳态是一致的，都冠以V. WEISKOPF & E. P. WIGNER之名。此外，在考虑弹性散射问题时，如果入射粒子能量可以与这个暂稳态发生共振的话，散射截面也会出现相应的峰或谷。

现在问题来了，怎么从薛定谔方程中求解出这样一个暂稳态呢？一个厄米的哈密顿算符是怎么求解出一个复本征值的呢？这就引出了我们要谈论的，一般形式的Balslev-Combes定理。

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对于一个非相对论多体系统，若其相互作用均为两体相互作用，并且“充分”解析，那么复拉伸变换后哈密顿量

的能谱中包括如下成分：

a. H 的离散谱

b. H 嵌入在连续谱中的离散本征值

c. H 的阈值（即一个粒子处在零能连续态时的本征值）以及以其为原点，转动的连续谱

d. H 和 连续谱之间的角度区域内出现的共振态

e. 以此类共振态为原点的连续谱

从中我们可以注意到如下几点：

1. 离散谱不随复转动变化，而连续谱会变，所以嵌入在连续谱中的离散谱自然被分离出来了

2. 随着转动角的变化，连续谱扫过的区域中会“冒”出复的离散本征值。有能量、有寿命，可以自然地表示那些会自解离的共振态

3. 这些共振态也可以作为连续谱的端点：试考虑一个锂原子，一个电子被电离出去，而剩下两个电子形成了一个共振态。

这里围道 C 应包含 H 的整个谱带，如下图所示

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参考

对该问题的细节感兴趣的大佬们可以参考如下几篇文章：

- Balslev, E., and Combes, J.M. (1971). Spectral properties of many-body Schrödinger operators with dilatation-analytic interactions. Commun.Math. Phys. 22, 280–294.

- Simon, B. (1973). Resonances in n-Body Quantum Systems With Dilatation Analytic Potentials and the Foundations of Time-Dependent Perturbation Theory. Annals of Mathematics 97, 247–274.

- Reinhardt, W.P. (1982). Complex Coordinates in the Theory of Atomic and Molecular Structure and Dynamics. Annual Review of Physical Chemistry 33, 223–255.

值得注意的是，也有人将这个技术应用到那些在无穷远处不趋于零的势场上，例如静电场中的隧穿电离问题等。