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作者介绍： 北京大学 原子分子物理博士
注：这一系列文章将介绍经典量子系统，仍在持续更新中。
在1994年，Berenger J. P. 从求解电磁场的麦克斯韦方程组出发，提出了另一个吸收边界的策略，叫做完美匹配层(perfect matched layer, PML)。
他的想法基于有限电导率的介质中的电磁波存在的衰减行为。若在求解域边界上放置这样一层损耗层，并想办法抑制掉损耗层交界处的反射，那么就能够达到吸收掉出射波的目的。简单起见，暂先考虑与损耗层交界处为真空的TE波情形。此时麦克斯韦方程组写成：
这里我们额外地将电磁损耗变成了对空间朝向有依赖的张量（注意这个操作会使得电场并不是通常意义下的无散场）。我们考虑新得到的方程的平面波解：
可见相位上的依赖与真空中的平面波是一致的，而在相应的传播方向有与损耗系数相关的指数衰减。我们再来考察界面上的反射。设界面法向为  方向，而界面两侧都是此类介质，只是损耗系数不同。那么可以写出相位匹配、电场切向连续和磁场切向连续三个独立的衔接条件。我们假定只有入射波和透射波，而无反射波
这个条件是容易满足的——我们希望的是从真空中入射到吸收介质后在传播方向上图为原文中给出的二维吸收方案，在方形角落上，需要使用两方向都有衰减的介质来和两头作匹配。- Berenger, J.-P. (1994). A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. J. Comput. Phys. 114, 185–200.
同年，Chew W. G. 敏锐地注意到，前文给出的吸收介质中麦克斯韦方程可改写为
看出了这一点，就无需再费口舌解释PML到底是个什么本质了——前面已经说了好多好多了。这篇文章也有上千引用，后续的标准数值电磁场教材采用的基本都是这套说法- Chew, W.C., and Weedon, W.H. (1994). A 3D perfectly matched medium from modified maxwell’s equations with stretched coordinates. Microwave Opt. Technol. Lett. 7, 599–604.
我们可以稍微聊一点历史：PML 提出至今，已经几乎成为了求解电磁场时边界吸收的标准策略，在任何一款 FEM 或者 FDTD 商业软件中都能找到它的身影。甚至也有人将其推广到薛定谔方程以及其他波动方程的求解上，例如- Ahland, A., Schulz, D., and Voges, E. (1999). Accurate mesh truncation for Schrödinger equations by a perfectly matched layer absorber: Application to the calculation of optical spectra. Phys. Rev. B 60, R5109–R5112.早在上世纪九十年代初，这套方法已经在薛定谔方程求解上得到了应用；94年只是做数值电磁场的人重新发现了其特殊情况而已，然而由于做工程研究的人影响力是如此之大，做原子分子计算的人影响力是如此之小，以至于99年的之后这套方法重新引入了薛定谔方程发了一篇 PRB (Rapid Communications) 然而却没人反应过来！据我所知，至少到了2008年才有人在综述文章中同时提到了ECS和PML这两个名词- Antoine, X., Arnold, A., Besse, C., Ehrhardt, M., and Schädle, A. (2008). A review of transparent and artificial boundary conditions techniques for linear and nonlinear Schrödinger equations. Commun. Comput. Phys. 4, 729–796.而到了2009年才有人明确指出了这两种方法的等价性（我也是从这篇文章才明白PML原来就是这么回事的）- Tao, L., Vanroose, W., Reps, B., Rescigno, T.N., and McCurdy, C.W. (2009). Long-time solution of the time-dependent Schr\"odinger equation for an atom in an electromagnetic field using complex coordinate contours. Phys. Rev. A 80, 063419.这大概就是“人类的悲欢并不相通，科研圈子的视界也不开阔，都只是觉得他们在骗钱”吧。【摊手
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