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这篇文章，我们将介绍半单李代数的基本概念。下一篇或许会介绍半单李代数的表示。 实李代数和复李代数很多“偏物理的李代数”在讲半单李代数时没有强调半单李代数是“某种复李代数”，这可能带来误解和困惑。 首先应该明确“实李代数”和“复李代数”的区别。比如当我们在谈“su(2)是紧致李代数”时，是指“su(2)是SU(2)的实李代数，且后者是紧致李群”。一个熟悉的例子是洛伦兹群，即SO(3,1)，它是非紧致的李群，但是它的李代数的复化（complexification）和SO(4)的李代数的复化是一样的。所谓“复化”，粗略地说就是把数域换成复数域，并按最直接的方式定义新李代数的对易子。
关于复李代数当然还有很多问题可以问，比如给定一个复李代数，如何构造它的紧致实子代数，使其复化可以回到原来的复李代数，等等。我们给出一个大致的结论：对于矩阵李代数，总是可以做到；这种实子代数称为紧致实形式（compact real form）。 半单李代数的定义为了方便说话，我们只讨论所谓的可约化（reductive）李代数——存在紧致实形式的复李代数。 一个半单李代数是指一个“中心平凡”的可约化李代数。所谓中心平凡是指，不存在一个元素，它和所有其它元素对易。如果存在这样的元素，这样的元素被称为中心荷；即半单李代数就是指没有中心荷的、可约化的复李代数。 为了满足理论物理的需求，我们这里设对易括号为
有哪些李代数是半单的呢？特别地，紧致单连通李群的李代数的复化，是半单李代数。 半单李代数可以分解成单李代数的直和。这里单李代数是指没有非平凡理想，且维数大于2的复李代数。 Cartan子代数
根（root）和相应的梯子算符（ladder operator）
Killing form和Cartan-Weyl基所谓Killing form是定义在矩阵之间的内积——相乘再求迹。在李代数中，可对伴随表示矩阵定义如下“内积”：
根子空间分解
Weyl群Weyl群既可以只在李代数中引入，也可以在李群中引入。粗略地说，Weyl群描述了root之间的对称性。
参考
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