代数基本知识

我们主要复习以下代数基本知识.

定义 称为复数域上的一个代数,如果

(1)是上的一个线性空间;

(2)上规定了乘法: , 满足

其中 , .

若中有元素, 对于每一个中的元素, 满足, 则叫做的单位元. 若中存在单位元,则它是唯一的. 设是有单位元的代数, 称为可逆的,如果存在使得. 满足上述等式的是唯一确定的,于是称为的逆,记作. 如果中的每个非零元都可逆,称为可除代数.

如果代数的乘法满足交换律,即, 则 称做交换代数.

定义: 设是两个代数,是到的映射,满足以及 , 称为到的同态映射.

如果同态映射既是单射又是满射,那么称是到的同构映射.

定义: 设是一个代数, , 并且依上的加法,乘法和数乘仍构成代数,则称为的一个子代数.

若是代数到代数的同态映射,值域显然是的一个子代数.

注 若代数没有单位元, 那么可以构造一个有单位元的代数, 使得同构于的一个子代数.在这个意义下,没有单位元的代数总可增添单位元. 事实上,令, 并且规定上的代数运算:

其中, . 于是 是中的单位元,而且映射是的一个单射同态,其中是代数中的零向量.

定义: 设是一个代数, 是它的一个子代数, 满足:

(1);

(2)

则称是的一个双边理想,简称为理想.

如果是交换代数,则可用条件: 成立来代替上述定义中条件(1).

命题: 设是代数,映射是一个非平凡同态映射(即 ), 那么的核()是的一个理想.

证明:  显然是的子代数,由的非平凡性,条件(2)自然满足.此外,对于每一个, 因为

由此可得

命题 设是由单元的代数,是的一个理想,则

(1)

(2)如果, 则 .

证明: (1)如果, 由双边理想定义

从而. 这与理想定义的条件(2)矛盾. 故.

(2)如果, 则

这与(1)矛盾,故

注:  事实上, '', '', '具有逆元'这三个命题是等价的.

设是的一个理想,我们可以作出商空间. 是由剩余类

所组成的. 因为是理想,所以由推出

于是 与属于同一类.因此, 上的乘法可以诱导出上的乘法:

另外再规定上的线性运算:

容易证明构成一个代数,称为关于理想的商代数.

定义自然映射, 则是到商代数上的一个同态映射. 由于. 可见是非平凡的,而且.

定义: 设是代数的一个理想,而且不真含于的另一个理想之中,就称是极大理想.

定理 设是一个有单位元的代数,那么它的每一个理想必含于某个极大理想之中.

证明: 令是由中一切包含的理想组成的集合. 按照集合的包含关系规定的序,即对于中元素, 若, 则. 于是是一个偏序集.

为了证明存在包含的极大理想,只须证明含有一个极大元. 我们将应用Zorn引理,为此只要验证的每个良序子集在上有界.

设是的一个良序子集,其中是一个指标集. 令, 则是这个良序集的一个上界,于是只须证明,或者只要说明是的一个理想就够了.

显然, 是的一个子代数,并且

(1),

(2)

所以确是的一个理想,证毕.

定理: 设是有单元的交换代数,则

(1)为了在它的某一个理想之中必须且仅须不存在;

(2)的理想是极大的,当且仅当商代数是可除代数.

证明: (1)必要性显然成立, 现证充分性. 令 , 由于不存在,可知, 并且由于可交换,所以还是一个理想,显然.

(2)必要性. 设是的极大理想,但是不是可除代数.于是有, (即), 不可逆,令, 则是的一个理想,而且. 作商代数, 考虑自然映射与

均为非平凡同态映射.  因为和都是的理想. 若, 由知, 所以, 从而. 另一方面,, 即, 但是, 这说明. 这与是极大理想矛盾. 因此是可除的.

充分性. 设是可除商代数,但是不是极大理想.于是存在的理想,以及非零元. 记为在中对应的剩余类. 有逆元, 即存在, 使得

故 ; 另一方面, 便推得, 这是不可能的. 所得矛盾证明必为极大理想.