【原】没有vlog的今天和抽代 3.4：理想和商环

今天有点困，所以3，4 节没有学习回来打点代码，整理下笔记，因为忘了报名而错过明天的六级因此获得3天小长假小周无比开心！又可以恰饭了！干饭人！！（胖了好多，哭死）

感谢好友的支持：

也希望你每天都快快乐乐 的，做自己喜欢做的事！

室友不在寝室，一个人开着小音箱，放音乐并开始鬼吼，十分快乐，哈哈哈！

以及因为早饭没吃，10点就吃饭被某人骂是pig这件事！

从本节开始，我们正式进入关于环的性质的研究，很自然的一个想法就是群论有的，环论是否有，如果有，是否和群论的有区别或者与群有什么区别，更重要的，环有没有什么特殊的，与群不同的性质？本节我们先从相同的入手，后面再单独讨论不同的！

3.4.1：理想和商环

在群论中，对于一个群有子群，而在环中我们找到了等价物-子环.那么在群论中的正规子群在环论中是否有类似的东西呢？回想一下，我们为什么会想在群中引入正规子群-在等价类上定义运算使其成为一个商群.同样地，我们想在环的“陪集”上定义运算使其成为商环.为此我们引入了理想.

定义 1：[理想] 设是一个环，那么的理想是指的加法子群且满足，对任意的.这样定义的理想我们称为是双边理想，当然就会有单边理想了，当我们将条件：替换为时，这时得到的子群就是左理想，同样地，还可以定义右理想.

刚刚我们说了定义理想的目的是为了在等价类上定义运算使其称为新环，现在我们看看是否达到了目的！自然在等价类上定义的运算就是：

我们简单瞥一眼看看是否是对的：

所以定义应该是没问题，只需要验证与代表元的选取无关即可.

这个就留给读者了，老懒人了！哈哈！

可以看到：加法零元：,乘法幺元：.我们为环的商环.

命题 2：若是环的一族理想，那么：也是的理想.

证明 :首先子群的交还是子群，

所以也是还是加法子群，

其次对任意的

因此还是理想.

有了上述命题之后我们便可以来定义生成的理想的概念了！}

定义 3：[生成的理想] 设是的一个子集，那么所有包含的理想称为由生成的理想，我们记为：.即所有包含的理想的交.假如是一个有限集那我们记：.

下边我们具体给出有限生成理想的样子：

命题 4：条件如上所述：那么:

证明： 在本书中我们最后一次证明类似的问题，以后再次遇到类似的问题我们只给出简单说明：首先我们证明右边是一个理想，其次我们证明左边包含右边，而右边又包含所以两者相等.

因为是一个理想，而,所以：,则它们的线性组合也在中，所以右边在左边中.其次右边是一个理想. 首先是个加法群这是显然的，其次对乘法，设

由于,所以：仍在右边，所以吸收性满足.因此右边是一个包含的理想，又因为它在左边根据定义他就是包含的最小理想.

特别地，如果是个交换环，那么：

如果,那么：

定义 5：[理想的加法和乘法]我们可以定义理想的加法和乘法：

1. 加法： 即由 生成的理想.
2. 乘法：所有形如 生成的理想.

定理 6：

1. .
2. .
3. .
4. .

证明： 1、2和证明方法类似，都是证明右边首先是一个理想，然后左边包含右边，而右边是包含对应集合的最小元素.3、4的证明则只需要由1、2将理想显示表达出来即可.

下边我们介绍理想的升链，虽然本身没有必要在这里介绍，但是为了给后边的PID 与UFD的内容降低负担，我们就在这里介绍了.

定义 7：[理想的升链] 设是环的一个理想，且：

我们称环的理想的升链.

对于理想的升链我们有如下命题：

命题 8：设是环的理想的升链,那么仍是一个理想.

证明： 我们只需证明加法成群以及具有吸收性即可：

加法群：设,那么必然存在使得：由于是理想，所以：,因此加法成群;

吸收性：对任意的,同上所述，必然存在使得：,故：.因此吸收性成立，所以是理想.

最后，我们证明一个比较有用的定理：

定理 10：设是一个不为0的交换环，那么是一个域的理想只有和自身.

证明： 若是一个域，则每个非零元都有可逆元，那么对,考虑对于理想,有：,因为：,所以所有的非零理想都是自身.

若的理想只有和自身，那么考虑由生成的理想，因为:,,故，又因为,因此存在：使得：，所以可逆，考虑任意的非零元生成的理想，由上所述可知，任意的都有逆元.因此环是域.

3.4.2：的理想

在所有环中最特殊的就是整数环以及域，刚刚我们研究了域的理想，现在我们研究整数环的理想.首先就要问问整数环的理想长什么样子，理想一定是子群，而的所有子群都是形如：的形式，我们会发现他就是理想，因为对于任意的 ,所以断言：

的所有理想都是形如的形式，我们为了和子群以示区别，记为：.}由于因此我们只对正整数考虑：

命题10：

1. .
2. 和生成的理想是
3. .

证明： 1. .

2.首先由和生成的理想一定形如：,因此：,因此是的公因子.又假设是的公因子：所以：,由生成理想的定义可知：,所以：,所以是最大公因子.

3.首先同样的因为理想的交还是理想，所以有：,因此：,所以是公因子，同样的假设是的公因子，所以：,所以是最小公因子.

考虑完了的理想，自然就是的理想了，而这是个有限群，所以考虑起来就更简单了：

case1：假设是素数，那么是域，因为每个非零元都有逆元：由于互素所以存在使得：

所以：

所以：的逆元就是，由因为由上式可知：也互素，所以因此中任何非零元是可逆元，所以：是域.

case2：假设是合数，我们可以断言他不是整区：考虑的一个分解：,所以：

所以非零元是零因子，因此不是整区.

最终我们可以总结出如下结论:

定义 11：若是合数，那么不是整区; 若是素数，那么是域.

由于当不是素数，是他不是整区，自然我们就是考虑，它中的什么元是可逆元：以及可逆元构成的群.

Claim：在中，与互素的数,是可逆元，且其他元均不可逆.

证明： 如果和互素，那么其是可逆元我们已经证明过了，现在只需要否定其他元都不是可逆元即可.反证法：假设不互素，但：,这意味着，存在使得：

矛盾，所以其他元均不互素.

因此由可逆元构成的群中的元素个数就是与互素且小于的元素的个数，我们知道是欧拉函数：.

定理[Euler] 若,那么：即：.

证明： 因为,考虑群，故a是可逆元，所以：

推论12：[Fermat] 在上述基础上，如果,那么：.

Music time :

are you shining just for me ?

关于公众号一周年与20岁生日只差2天这件事....