在群论中,有了商群的定义,才有了群论中的三个同构定理,而商群又建立在正规子群的基础上,所以正规子群与群论中的三个同构密切相关。环论与之类似,在环论中,“理想”的概念正是对应于群论中的正规子群,而环论中三个同构定理正是来源于群论中的三个同构定理。 我们先看看如何模仿商群的构造过程来构造商环:设S是环R的子环,环中有两种运算:加法和乘法,其中加法运算构成阿贝尔群,所以对于加法运算,S就是R的正规子群,这样加法商群R/S是有定义的。现在的问题是如何定义R/S的乘法使得R/S构成环。我们当然希望商群乘法的定义和群论中商群乘法的定义保持一致,商群本质上就是所有陪集的集合,商群的乘法规则就是陪集之间的乘法规则,但是在这样的定义下,加法商群R/S在乘法下不一定构成环,现在我们的目标就是弄清楚加法商群R/S在乘法下构成环的充要条件是什么? 下面的引理给出了答案。 关于理想的定义和主理想整环PID的定义在”如何用环的理论解决著名的二平方和问题“这一篇文章讲过,就不再重复,现在来证明环论中的三个同构定理。 |
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