【原】累死个人了-抽代 3.6：环同态

emmm我似乎找到原因了，就是这篇文章....但是俺什么也没干啊，突然增加了100多号人，那这暑假还不得爆更！

真想一下子就把他们都完成了！

环同态

本节仍然沿着主线任务，将群论里的优良性质转移到环论，在群论中，我们曾经花了很大的力气来研究群同态和群同构，同样的在环论中也有类似的结论！

❝

[环同态] 设和都是幺环，如果对于任意的,都有：

那么我们则称是从到的环同态.为了简单起见，我们总是研究幺环，所以总是要求同态保幺元.❞

❝

命题2是的一个子环，且是其单位元.

❞

「证明：」 因为对任意的都有：所以乘法，而加法由群同态基本定理自然得证.所以，以后如果没有特殊说明，我都不再证明加法是群.而对任意的所以保幺元.

❝

练习 设是环的一个理想，则：是满同态.我们称这个映射为自然映射.

❞

❝

定理 [环同态基本定理] 设是环到环的环同态，即同态核为：.则：(1:)是环的一个理想. (2):.其中.

❞

「证明：」(1):首先是加法群，其次对任意的都有：

所以：所以吸收性成立，故为环的理想.

(2):第一步需要验证的定义是合理的，其次验证这是一个环同态.首先满射是显然的，我们只需要验证这是一个环同态以及是单态即可.

所以环同态得证，再验证单态，如果：,.

❝

练习设是一个环同态：,也是一个环同态：.证明：也是环同态.

❞

「证明：」 保加法：

.

保乘法：

所以仍然是环同态.

环同构

在环同态的基础上，如果映射既是单射又是满射，则我们称为环同构.

我们将群同构定理可以搬过来：

❝

[环同构第一基本定理] 设是一满同态(注意到，这里满态的条件千万不能少)，是的核，那么：

1. 是环的子环/理想，当且仅当是环的子环/理想.
2. 若是的理想，则：

❞

「证明：」

1. 首先有关加法群的内容已经对应完成.因此我们只需要验证乘法的内容：若是环的理想,对任意的由于是满射，所以存在使得：,所以对任意的都有：,所以是环的理想.

反之，如果是环的理想，那么由于是满射，证其原像也是的理想，任取,考虑,由,所以,因此吸收性成立，故得也是环的理想.

2. 定义映射：.我们验证这就是所对应的环同态：

首先保加法：

.

再验证保乘法：

,以及自然的保幺元.

满态是显然的，我们只需要验证这是单态即可：

❝

[环同构第二基本定理] 设是环的子环，是的理想，那么有：

❞

1. 是环的理想
2. .

「证明：」 第一问比较简单我们不再给出证明，对于第二问：我们定义环同态：

显然这是个满态，然后我们由环同态基本定理可得：

由于，所以即得：

❝

练习：设为环的理想，且,用环同态基本定理证明：

1. 是的理想.
2. .

❞

「证明：」(1):对于任意的矩阵

考虑,

那么：由于是理想，所以,所以,所以吸收性满足.

(2):考虑环同态：

考虑映射的核：

所以根据环同态基本定理可得：

中国剩余定理如果搬到公众号里就不用看了.....