【原】Tautochrone | 半单代数的结构

作者介绍：英国牛津大学 Mathematical Institute

小目录：

• 半单代数上的单模
• 半单代数的中心
• Artin-Wedderburn定理

在本章中，指代一个有限维代数。

下面的引理看似显然成立，但是却能在之后导出一些有趣的结论。

引理 2.1

设是上的单模。则每个模同态要么是零映射，要么是模同构。

证明：

由模的第一同构定理和单模的定义显然。

引理 2.2

每个循环模都同构于左正则模的一个商模：若，则，其中。

证明：

模同态，是满射。由模的第一同构定理，有

注意到每个上的单模都是循环模，因此以上引理说明每个单模都同构于左正则模的一个商模。

定理 2.3 Schur引理

设是代数闭域，是上的单模。则每个上的模自同态都是一个标量乘法。即对于，存在使得对任意，有。特别地，有.

证明：

由引理2.2，同构于的一个商模。于是是上的有限维向量空间。设，则是上的线性变换。由于是代数闭域，有本征值。于是有非平凡零空间，因此不是同构。由引理2.1，。故。

半单代数上的单模

命题 2.4

设是域上的有限维半单代数。上的左单模在同构意义下只有有限多个。

证明：

将能分解成单子模的直和：

设是一个单模。固定。设模同态由给出。设。直和分解式, 给出了的分解：

由于非零，至少有某个非零。由引理2.1，是模同构。于是同构于中的一个单模。故上的单模在同构意义下只有有限多个。

接下来我们研究作为环的幂等元。

定义 2.5 环的中心，幂等元

称为的中心。它是的一个双边理想。

若满足，则称之为的一个幂等元；若，则称之为中心幂等元。若幂等元满足，则称他们是正交的。

命题 2.6

设是域上的有限维半单代数。则存在一组正交的幂等元使得

证明：

设能分解成单子模的直和：

将单位元沿着该直和分解：

注意到从直和的性质出发有

故是一组正交幂等元。对于，根据直和，有

故。而显然，因此，有

下面的命题说明代数的半单性只取决于它的左正则模。

命题 2.7

设是域上的有限维代数。是半单代数当且仅当上的左正则模是完全可约的。

证明：

必要性显然成立，下面证充分性。

设上的左正则模是完全可约的。注意到命题2.6的证明只用到了左正则模的完全可约性。于是能将的单位元分解成正交幂等元的和：

设是一个左模。任取的单子模，由Zorn引理存在一个的极大子模满足。我们要证。如不然，则存在使得。注意到

因此存在使得。注意到，是模满同态。由引理2.1，有模同构。是单模。于是，即，这与的极大性矛盾。于是是完全可约的。

半单代数的中心

现在我们固定为上的一个有限维半单代数。令为（互不同构的）全部的单模。我们固定左正则模的一个直和分解：

其中是的单子模，因此是一组正交幂等元。注意到由模的Jordan-Hölder定理，这个直和分解在置换的意义下是唯一的。此外，每个，因为每个单模都同构于的一个子模。

引理 2.8

是作为环的双边理想。

证明：

由定义是的子模，因此是左理想。只要证它们是右理想。固定，考虑。考虑沿着前述直和的投影，以及模同态，。对，有

对，模同态是零映射，因为以及引理2.1。因此

故是的右理想。

推论 2.9

，其中是的单模的个数。

证明：

设。由于是的双边理想，是一个中心幂等元。于是是一组正交中心幂等元。特别地它们在上线性无关。故。

定理 2.10

设是代数闭域。则，其中是的单模的个数。

证明：

由推论2.9，只要证。由Schur引理，每个在上的作用都等价于一个标量。由此给出的代数同态，称为中心特征标。相应地，我们也能定义线性映射，。对，有

因此是单射。有。

命题 2.11

设是有限群。是的全部共轭类。对共轭类，定义共轭类和

则是作为向量空间的一组基。因此有。

证明：

先证。对，，是一个双射。于是

把上式线性地扩展到上即可。

由于共轭类不交，线性无关，只要证它张成。对于，注意到

因此。特别地，对于共轭的有。故张成：

结合定理2.10和命题2.11可知，代数闭域上有限群既约表示的个数恰好等于的共轭类的个数。

Artin-Wedderburn定理

命题 2.12

每个都是带有单位元的环。有环同构：

更进一步，每个都是上的半单代数，有唯一的单模。

证明:

由引理2.8，是双边理想，其上的幂等元是中心幂等元，并且有对于所有成立。于是是含幺环。（但注意不是的含幺子环，因为）那么给出了环同构。

固定，考虑的一个子模。有

因为对，。于是也是模，因此或，故是单模。因为且，是半单代数。因此由命题2.4的证明，是上的唯一单模。

命题 2.13

设是上的半单代数，有唯一的单模。若，则有代数同构，其中是一个除环。

证明：

首先我们证环同构：对，定义左乘，。容易验证是从到的环同构。

有模同构，考虑嵌入和投影。定义如下：

容易验证这是个环同构。最后有

结合前两条命题，我们得到了著名的Artin-Wedderburn定理：

定理 2.14 Artin-Wedderburn定理

设是域上的有限维半单代数。则存在除环和使得存在如下的代数同构：

在代数闭域上，结合Schur引理我们能更进一步：

推论 2.15 代数闭域上的Artin-Wedderburn定理

设是代数闭域上的有限维半单代数。则存在使得存在如下的代数同构：

证明:

由Schur引理，有代数同构。在命题2.13的代数同构中，我们更进一步有

于是

利用Artin-Wedderburn定理，可以研究代数闭域上的既约表示的结构。

引理 2.16

矩阵环是半单代数，其上唯一的单模同构于。有左理想直和分解：

其中只有第个元素为，其余元素为。每个左理想都模同构于。

证明：

由线性代数知识易证。

定理 2.17

设是代数闭域，且。设是全部互不同构的上的单模。则有模同构：

特别地，有。

证明：

由Maschke定理，是半单代数。由Artin-Wedderburn定理，有代数同构

其中每个都是单代数，有唯一的单模，由引理2.16有模同构。因此。于是有模同构

特别地，。