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从本章开始，我们开始介绍赋范线性空间和内积空间，他们仍然是在为第三章的内容做准备，从本章中我们可以加深对有穷维空间和无穷维空间的认识，可以给有穷维空间画上一个句号，并初步认识无穷维空间-这正是泛函分析研究的主要对象之一！ 赋范线性空间在上一章中，我们主要认识了度量空间，即在拓扑结构上赋予度量结构，此时开集和闭集可以依托度量函数刻画，从而显得不那么抽象；在赋范线性空间空间中，我们加赋予它更多的结构-线性结构！首先我们要先看看拓扑结构和线性结构相容产生的结构，然后看他与度量结构的相容性。同时，因为有了线性结构之后，我们可以讨论基的概念，因此我们会对有穷维赋范线性空间有更加深厚的认识！那么首先就从回顾线性空间开始吧！ 线性空间这一节，我仅对某些概念进行陈述，对某些特别的概念可能会稍微解释一下，如果记不清的可以会看一下高等代数！ 定义： 设 是一个非空集合, 是实(或复)数域, 如果 具有下列性质,则称 是一个实(或复) 的线性空间: (i) 是一个加法群. 即 中任意两个元素 对应于 中 唯一的一个称为 与 的和的元素,记为 , 满足 (a) 交换律 : ; （b）结合律 : ; (c) 中存在元素 使得对任一 , 称 为 的 零元素; (d) 任何 , 存在加法逆元素 使得 . (ii) 任何 以及任何数 对应于 中唯一的一个 称为 与 的乘积的元素, 记为 , 简记为 , 满足 (a) ; (b) ; (c) ; (d) . 今后, 在不会引起混淆的情况下, 实(或复)线性空间简称为 线性空间,实(或复) 数域 简称为数域,而实 (或复)数简称 为数. 学过代数的同学会认识到，第一条意味着是一个Abel 群，第二条定义了模作用，从而使称为模. 下边的一些定义我只列出他们的名字，不熟悉的请大家自行查看：
范数与Banach空间是在线性空间上加拓扑还是拓扑空间上加线性结构,我们不去深究，在这本书中采用的线性结构上加拓扑，而赋予拓扑结构的方式就是引入范数，引入范数后就可以诱导出一个距离函数! 定义 设 是实(或复)线性空间,如果对于 中每个元 素 , 都有一个实数,记为 , 与之对应,且满足 (i) 的充分必要条件是 ; (ii) , 这里 是实(或复)数; (iii) (设 , 则称 为实(或复) 赋范线性空间, 称为元素 的范数. 由范数的定义我们可以诱导出一个诱导出一个度量函数：.可以验证，这个函数满足度量函数的三条公理！这样就是一个度量空间了！ 同样的，我们可以定义收敛性： 既是距离空间, 自然就有点列的收敛. 按照距离空间中收敛 的定义, 中点列 收敛于点 是指 我们自然而然地称 依范数收敛于 , 有时也称 强 收敛于 . 现在我们就可以考虑线性结构和范数、度量函数的相容性：
这是因为： 当时，.
下边看几个例子： 欧式空间在,中定义加法、数乘、范数为： 至于是不是赋范线性空间就自己验证了，显然它是的！ 连续函数空间在 中定义线性运算和范数如下：设 与 均为 中的元素, 为数, 令 空间中的线性结构与上边的连续函数空间定义相同，范数定义为： 空间若 及 均属于 , 则序列 也属于 . 今定义 中的线性运算. 令 按照上述线性运算是一个线性空间. 再令 商空间在高等代数中很多同学应该是没有学过商空间，所以我们先定义作为线性空间的商空间，再在其上定义范数：设 是一给定的线性空间, 是 的子空间. 应用子空间 , 我们可以在 上定义等价关系. 称 是等价的,若 , 记为 . 由于 是线性空间,我们不难验证是一个等价关系，因此我们就有了商集.而商集中的元素是一些等价类： 我们要在商集上定义加法和数乘，而且要验证我们定义的运算\hs{与代表元的选取无关}(这个工作在代数中我们已经频繁做过了！) 因此商集就成为了一个商空间(线性空间)，现在我们在其上定义范数： 我们仍要验证它是一个范数.(自己做吧！) 完备的赋范线性空间成为巴那赫空间,我们定义商空间的目的就是为了将不完备的赋范线性空间完备化，不过这个过程稍显复杂，有兴趣的可以查看一些资料. 具有基的巴那赫空间我们之前已经说了，有了线性结构之后，我们就可以谈论基的概念，有了基之后就有坐标，这是我们的追求，但是问题是：我们之前的基的概念是针对有限维谈的，对一个无穷维空间，它该怎样定义基？将其定义了之后，是否每个无穷维空间都有基？ 我们先回答第一个问题：我们想要在无穷维空间上定义基，一种想法就是在有限维的基础上延拓基的概念，而Schauder基就很好的满足了这一要求： 定义 设 是一个无限维的巴拿赫空间, 中的点列 称为 的绍德尔 (J. P. Schauder) 基或简称为基, 如果 中的任一元素 可唯一地表示成 其中 为实或复数, 仅与 有关,且右端的级数依 中的范数收 敛. 基 有时简记为 . 可以很好的看出，在有限维时，Schauder基和我们在高等代数中遇到的基是一样的定义. 至于第二个问题，是否每个无穷维空间都有Schauder基？我们的答案是否定的，数学家也是经过了很久构造出这个例子，有兴趣的同学可以查一些资料. 当然这只是定义基的一种方法，数学中还有其他定义的方法，比如Hamel基，在承认选择公理的前提下，我们可以得到每一个空间都具有Hamel基.在本书中，我们只讨论Schauder基. 任何具有Schauder基的巴那赫空间是可分的，形如：组成的集合在中稠密. ok.有了基之后，我们便可以对有穷维Banach空间有进一步的认识，我们接下来从下边三个方面来认识有穷维Banach空间： 拓扑同构定义 设 都是赋范线性空间. 如果下面的条件满 足,就称 拓扑同构: (i) 作为线性空间是同构的, 从 到 的同构映射用 表示; ( ii) 是同胚映射, 即 及 均为连续映射. 定理 任意两个同为实(或复)的 维赋范线性空间必拓扑同构 . 现在我们思考怎么构造映射：这时候就要唤醒你在高等代数中学过的知识了，一个自然的想法就是基映成基，这时我们在线性代数中构造线性同构常用的手段，我们从向做映射，设的一组基维：.定义: 首先这是一个线性映射(验证)，然后再证明它是同构映射，单射显然(由基的线性无关性)，再看满射，对任意的,原像为所以满射得证，故为同构映射；接下来只需要证明和都是连续的即可. 所以： 我们知道中的收敛等价于坐标收敛，因此当时，,故. 下面证明 连续. 对 , 令 则 连续. 在 的单位球面 上考察这个函 数. 由于 线性独立, 且 在 中是紧集,而函数 在 中每一点处的值均为正的,故在 上有正的 下确界 , 于是 今任取 , 并设 , 令 那么 , 故 即 由此可知,对任何 , 有 故 连续. 因此 与 拓扑同构. 从这个定理的证明中我们可以看到单位球面在有穷维Banach空间的重要性！ 推论：任何有穷维赋范线性空间都是完备的. 范数等价接下来，我们看有穷维Banach空间上的范数问题，因为任何有穷维Banach空间都和拓扑同构，所以我们只需要在中讨论问题即可： 定义 如果对任意的,都存在非零的正数,使得：范数满足： 那么则称范数和范数是等价的 定理 设是定义在欧式空间上的两种范数，如果点列按照两种范数定义的敛散性相同. 这是因为： 所以： 易见. 定理 上任何两个范数都是等价的. 先证任何范数都依2-范数收敛. 设,所以我们可以得到：任何一个范数： 当依2-范数收敛时等价于依坐标收敛，所以,因此. 然后取单位球面上的点： 由于任何一个在闭曲面上都是有界的，所以： 其中,且,因此：对任何的,都有： 所以： 所以任何一个范数都和2-范数等价。因此任何范数之间都互相等价. 局部紧性质最后，我们看局部紧性质：我们在之前暗示过了：有界闭集集都是紧集是有穷维巴那赫空间的性质，现在的问题是这个问题是否是有限维独有的？ 为了证明这个定理，我们需要一个非常重要的引理： 引理 设 是赋范线性空间 的真闭子空间,那么对于任 给的 , 存在 , 满足 , 且对一切 , 有 首先，我们先举一个例子使我们对这个问题有一些简单的认识： 是赋范向量空间 的一个闭子空间且 , 则对于任意 , 任意 , 存在 使得 赋范向量空间 内含有真闭子集 ，那么根据Riesz引理，我们能够拉到一张距离为 -网, 但是这张网并不能覆盖全空间 里面的所有范数为 1 的元素。 我们取立体直角坐标系 为全空间，同时我们需要子空间是线性的 (注意线性性)，所以用水 平面 来作为线性子空间, 由于子空间是闭的, 子空间的闭包也在子空间内， 这一性质其实也是为了保证距离为0时， 对应的点能够在子空间内。 此时我们考量范数为 1 的情况, 显然, 这是一个三维球面 那么我们做一张 -网, z的绝对值小于1的时候, 就会被包含在这个网当中, 但是，当 或 时，我们发现这张网就没法包住这两个元素了。那么我们可以说，存在一个 ，使得 , 也就是我们这个定理要说明的内容。 来自知乎，当然你可以举更简单的例子，我知识单纯觉得挺好的！ 下边我们开始证明这个定理：因 是 的真子空间, 故存在 . 令 因 闭, 故 . 任取 满足: , 于是 , 故存在 使 再令 , 则 1 , 且对任一 , 有 由于 , 而 , 故 于是 证毕. 定理 赋范线性空间 是有限维的充分必要条件是 为 局部紧(有界闭集为紧集)的. 必要性：十分容易，因为和同构，在欧式空间是有界闭集即为紧集. 充分性:用反证法. 设 为无限维. 令 是 的单位球面: . 则 是 中的紧集. 任取 , 由里斯引理, 存在 , 使得 仍由里斯引理,存在 , 使 得 . 依此类推,由于 是无限维的, 故可 以取出 中的一系列元素 , 使得对任何 1 , 当 时, . 显然 不存在收敛的子列, 与 的紧性矛盾. 故 是有限维的. 证毕. 泛函分析：目录  国庆转眼快要结束了... 没有准备做的赶紧做吧！ |
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