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纤维丛理论是数学中的一个重要分支，它研究的是纤维丛的性质和结构。纤维丛是一种数学对象，它可以看作是在每个点上都有一个局部平凡化的空间，这个空间在不同点之间通过一个连续的映射进行转换。纤维丛理论的重要性主要体现在以下几个方面： 1. 纤维丛理论为几何学提供了一种统一的语言和工具，使得研究者能够更加深入地理解和描述几何结构。通过纤维丛理论，我们可以将不同的几何对象统一起来，比如曲线、曲面、流形等，从而建立起几何学的一般理论。 2. 纤维丛理论在物理学中有广泛的应用。物理学中的许多基本理论，如电磁学、引力理论、量子场论等，都可以通过纤维丛理论进行描述和推导。纤维丛理论为物理学家提供了一种强大的工具，使得他们能够更加深入地理解和研究自然界的基本规律。 3. 纤维丛理论在拓扑学和代数几何学中也有重要的应用。通过纤维丛理论，我们可以研究和分类各种拓扑空间和代数结构，从而深入理解它们的性质和结构。纤维丛理论为拓扑学和代数几何学提供了一种统一的框架，使得研究者能够更加系统地研究和发展这些学科。 总之，纤维丛理论在数学和物理学中都有重要的应用，它为我们理解和描述各种几何结构提供了一种统一的语言和工具。通过纤维丛理论，我们能够更加深入地研究和理解自然界的基本规律，同时也能够推动数学学科的发展和进步。 在前面我们定义了切丛,研究了切丛的截面,即向量场. 切丛是一种特殊的微分流形: (1)切丛局部上是乘积空间,且乘积空间的第二个分量为线性空间; (2)切丛的局部坐标转换映射保持第二个分量的线性性. 下面我们考虑这种流形的推广.
则称为上的向量丛, 为该向量丛的秩, 为丛投影, 和分别称为总空间和底空间. 我们也把称为局部平凡化,为连接函数. 称为上的纤维. 根据定义中的条件(i),纤维中还可以自然地定义线性结构.使之线性同构于,并且由条件(ii), 这样的线性结构由加以保持, 我们把称为结构群. 如果存在闭的Lie子群,使得,则称结构群可约化到子群. 在向量丛的定义中,连接函数处于非常重要的地位,这些连接函数满足如下性质: 特别地,. 反之, 如果有这样一族光滑函数满足上述条件,则定义商空间 其中等价关系定义如下: 任给, 规定 的拓扑由商拓扑给出,用表示的等价类,定义投影为, 则不难验证在投影之下成为上的向量丛. 例1: 平凡向量丛 令是向第一个分量的投影,则显然,为上的向量丛,其平凡化为恒同映射,连接函数恒为1(单位矩阵). 例2: 流形的切丛. 设为微分流形,其切向量的全体组成的空间连同投影满足上面向量丛的条件,这是秩为的向量丛. 例3: 实射影空间上的秩为1的向量丛. 令 是乘积流形的子集. 其拓扑定义为子拓扑,定义自然投影为 则是上秩为1的向量丛. 事实上, 令 则定义为 为微分同胚,且当时, 因此连续函数为 这是光滑映射.因此,是上光滑向量丛. 我们有时把秩为1的向量丛称为线丛.上例也可推广到秩不是1的情形.
向量丛上截面的全体记为,当我们不强烈可微性时,也记为. 截面也可以局部定义,即只定义在\ 上的开集中. 把任何映为纤维中零向量的映射是一个特殊的截面,称为零截面.我们也可以在中自然地定义加法和数乘运算,使之成为向量空间,零截面是这个空间中的零元. 例4: 平凡向量丛的截面 映射为截面当且仅当形如 为截面当且仅当形如 其中为上的向量值函数.可见截面实际上是函数和向量值函数的推广,今后我们研究的对象也大多是各种向量丛的截面. 例5: 切丛的截面 按照我们的定义,切丛的截面就是上的切向量场.我们有时也把一般向量丛的截面称为向量场. 按照向量丛的定义,向量丛在局部上总可以看成平凡丛.因此,截面都有所谓的局部表示. 设为截面, 为局部平凡化,则 其中为到的映射,且当时,有 反之,满足上述条件的一组映射就决定了上的一个截面.
显然,丛映射中的映射完全由决定.如果存在丛到的映射使得和互为逆映射, 和也互为逆映射,则称及为互逆的丛等价,此时限制在纤维上均为线性同构. 特别的,如果,则称丛映射为丛同态,相应地把丛等级称为丛同构.我们不区分同构的向量丛. 例6: 设为光滑映射,则的且映射为丛映射;而微分流形的切丛的切丛可平行化当且仅当其切丛同构于平凡向量丛. 下面我们考虑向量丛的一个有用的例子.设为上的向量丛, 为光滑映射. 令 可以证明,为乘积流形的正则子流形. 定义投影为 则成为成为上的向量丛.事实上,设为中的开集, 为在上的局部平凡化, 则映射 为微分同胚, 其中为向第二个分量的投影.如果和分别为, 上的局部平凡化,则有 其中为的连接函数. 这说明为上的向量丛,并且其连接函数为. 我们把称为诱导丛或拉回丛.可以证明,如果为同伦映射,则它们的拉回丛和是同构的.特别地,可缩流形上的向量丛均为平凡丛.
则的丛投影限制在上仍为丛投影,为上秩为的向量丛,称为的子向量丛,简称子丛. 设均为上的向量丛,如果丛同态和限制在纤维上的同态序列 是短正合列,则称丛同态序列 为短正合序列.如果为的子丛,则令 也是上的向量丛,且有丛的短正合列, 称为和的商丛. 例7: 子流形的法丛 如果为的正则子流形, 则的切丛为限制丛的子丛,其商丛称为的法丛.例如,考虑维球面,其法丛为 这是一个平凡线丛. 下面我们介绍向量丛之间的几种简单的运算. 1)Whitney和(也称为直和) 设,为上的向量丛,秩分别为. 定义空间 以及投影映射为 在此投影下成为上秩为的向量丛.实际上,因为和在上均有局部平凡化的开覆盖,通过选取公共的加细覆盖,我们不妨设既是的局部平凡化覆盖,又是的局部平凡化覆盖,它们的平凡化映射分别为 则在上的局部平凡化 可以定义为 其中 和分别为向第二个分量的投影映射. 因此,如果和分别为和的连接函数,则 即的连接函数为 2)对偶丛 设为上秩为的向量丛,考虑如下空间 其中为向量空间的对偶空间,即 定义投影为 则成为上秩为的向量丛, 称为的对偶丛. 如果为的局部平凡化,则对 , 为线性同构,它诱导了自然的线性同构 其中通过上的内积我们将和它的对偶空间自然地等同起来. 的连接函数可以通过计算转换映射得到: 因此 的连接函数为 3)张量积 我们先简要介绍一下向量空间之间的张量积.设分别为两个有限维的向量空间,其对偶空间分别记为和. 记 其中 关于两个变量都是线性的是指当时 以及 在上可以自然的定义加法和数乘运算使之成为向量空间,称为和的张量积. 设, , 我们如下定义一个元素: 易见运算具有如下简单性质: 根据维数的有限性不难证明,是由所有形如的元素生成的,且有 (1)如果, 分别为的基,则为的一组基; (2)与同构; (3) 如果, 分别为和上的线性变换,则定义上的线性变换如下: 因此,如果分别是上秩为和的向量丛,则令 如前面讨论的那样,上有自然的流形结构使之成为上秩为的向量丛,称为和的张量积. 如果和分别为和的连接函数,则为的连接函数.最后我们简要地介绍一些纤维丛的概念, 这是向量丛的自然推广,只不过纤维丛不再具有线性结构,结构群也不再限于一般线性群.
(i); (ii)当时, 存在光滑映射,使得 则称为上的纤维丛, 为丛投影, 为纤维, 和分别为总空间和底空间, 为结构群. 我们也把称为局部平凡化, 为处的纤维, 为连接函数. 类似地,关于向量丛的一些概念和结果也可照搬到纤维丛上来,我们在需要的场合再加以说明,下面仅介绍几个例子. 例8: Hopf纤维化. 类似于实射影空间,我们可以定义复的射影空间. 令 其中等价关系定义为 的等价类用表示, 商投影为 上的拓扑定义为商拓扑,则它也是一个微分流形.事实上,其局部坐标覆盖可以取为, 其中 上的坐标映射定义为 这些坐标映射之间的转换映射实际上是全纯映射,因此为光滑流形. 我们把看成中的单位球面,把商投影限制在上,仍记为. 下面说明为纤维丛的丛投影. 事实上,由的定义,有 局部平凡化定义为 为光滑映射,且其逆为 这是定义好的光滑映射,因此为微分同胚.当时, 因此为上的纤维丛,纤维为.根据上式,连接函数 即结构群也为. 一般地,如果为上的纤维丛,且纤维和结构群均为Lie群, 在纤维上的作用为Lie群的左移作用,则称为上的主丛.如果为主丛,则在上有一个光滑的右作用定义如下: 设, 如果, 记 则令 易见这个定义是恰当的,从而得到一个光滑的右作用. 例9: 向量丛的标架丛. 设为上秩为的向量丛.对任意, 令 设为的一组标准基,则线性同构完全由的基决定,我们把这组基称为的一组标架,因此可以看成的标架的全体.选定一组标架后,和一一对应. 令 则有自热的微分流形结构,使之成为上的主丛,称为的标架丛. 例: 主丛的伴随向量丛. 设为上的主丛,纤维为. 如果在向量空间上有线性表示,即存在光滑作用 使得均为线性变换,则我们可以如下定义上的向量丛 其中等价关系定义为 投影定义为复合映射 诱导的映射.可以验证,为上的向量丛,称为伴随丛. 从纤维丛的定义可以看出,丛投影必为淹没.反之,Ehresmann证明了逆紧的满射如果为淹没,则必为纤维丛的丛投影. 您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力: |
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来自： taotao_2016 > 《几何》
