|
作者介绍：英国牛津大学 Mathematical Institute
放假了。上学期学了有限群的线性表示。这是一门要考试的课，所以做个简短的期末复习。- 应用：Burnside
 定理
- Konstantin Ardakov, Lecture Notes on B2.1 Introduction to Representation Theory(2020-2021)
有限群的表示论是群论和线性代数结合的产物。群是从“对称性”中抽象出来的代数结构。群表示论的核心课题，就是找到所有群在向量空间上的线性表示。这门课的前置课程是线性代数，群论，环论和模论。在整个笔记中， 指代基域。 指代一个有限群。我们有时会考虑是代数闭域，以及 的情况。在特征标理论中，我们只研究 的情况。 指代一个上的有限维向量空间。令 为 上全体可逆线性变换构成的群。若不加声明，所有向量空间均为上的向量空间，当我们谈及维数时，均指上的维数。例如当我们说“维模”，实际上是指。定义 1.1 表示设是有限群，是有限维向量空间。在上的>一个表示是指一个群同态 我们接下来将证明，给定一个上群的表示，等价于在上定义一个模结构，其中将要定义的是群在域上的群代数。群代数可以视为在上的“线性扩充”。定义 1.2 群代数可以验证，这个乘法与上的标量乘法相容。于是就成为上的一个代数。 易验证是从到的代数同态。于是定义了上的一个左模结构：反过来，设向量空间是一个左模。则上有自然的群同态，由如下方式给出：这样，我们就把左模和群的表示自然对应了起来。以后我们会不加声明地交换使用这两个概念。Example 1.3 群表示的例子设是一个有限群。- 平凡表示： 群表示满足对于任意，，称为的平凡表示。
- 正则表示： 群表示满足，称为的(左)正则表示。自身是一阶左自由模，称为左正则模，它的子模就是的左理想。
- 矩阵表示： 群表示称为的一个矩阵表示。
- 置换表示： 设是一个有限集。考虑上以为基自由生成的向量空间：
一个群作用可以线性地扩充成一个群表示，由如下方式给出：称为的一个置换表示。 定义 1.4 表示同态设和是群的两个表示。若线性映射使得对于任意，有，则称是表示与之间的同态。若是双射，则称之为表示同构。 用模论的语言，表示同态给出了左模与之间的一个模同态：定义 1.5 稳定子空间设是一个群表示，它定义了上的一个左模结构。设是一个的子空间。若对于任意和，有，那么称为的稳定子空间。 定义 1.6 子表示，商表示- 由提供的的子表示，是指群同态，满足对所有和成立。换而言之，子空间是的左子模。
- 由提供的的商表示，是指群同态，满足对所有和成立。换而言之，商空间是的左商模。
定义 1.7 既约表示若表示没有非平凡真稳定子空间，则称之为既约表示。换而言之，作为左模，是单模。 表示论的核心就是在至多同构的情况下找到群的所有既约表示。定理 1.8 Maschke定理设是有限群，且。设是模，是的子模。则存在的子模使得。 首先设是中关于的一个线性补空间，即。设是这个直和分解到上的投影。即对和有。由，可以定义线性变换容易验证是一个模同态，且也是一个从到的投影。设，则由模的第一同构定理，是的子模。且由投影的性质有 命题 1.9 半单模，完全可约表示- 对的任意子模，都存在子模使得。满足以上条件的模称为半单模或者完全可约模。对于群代数，上提供的表示称为完全可约表示。
1 2：设是的子模。由Zorn引理存在一个(集合包含意义下的)极大子模使得 。我们要证 。如不然，则存在一个单子模 。于是 ，即 。这与 的极大性矛盾。因此。2 1：首先我们证明有至少一个单 子模。固定 ，于是 是的一个循环子模。考虑的一个极大左理想 ，则 是一个的一个极大子模。由题设存在的另一个子模使得 ，于是因此有模同构：由前面的论述有 ，因此Zorn引理推出 有一个极大元 。由题设存在的另一个子模 使得 从完全可约表示的定义和Maschke定理我们有如下推论：推论 1.10定义 1.11 半单代数设是域上的代数。若的左模都是完全可约的，则称是半单代数。 推论 1.12研究群表示 ，等价于研究 模的结构。由Maschke定理，是半单代数。因此我们在下一节构建关于半单代数的理论，并以此研究群表示的结构。   
|
