微分流形是基础数学专业所必须学的一门基础课。微分流形其实是本科微分几何课程中研究的光滑曲线与光滑曲面的高维推广。简单地说，微分流形理论的主要内容就是把通常欧氏空间上的多元微积分推广到光滑的微分流形上，即对定义在流形上的可微函数同样能够进行“微分”和“积分”，因此这个理论有时也称为“流形上的微积分”。由于一般的微分流形并不假定是在欧氏空间中，所以就不能在微分流形上直接使用传统的多元微积分的方法，而必须依靠线性代数的方法（具体来说是线性映射与多重线性代数的方法），将问题逐步转化为普通欧氏空间中的多元微积分问题来解决。本文记录了笔者在学习微分流形理论的过程中的一些体会。 笔者第一次接触微分流形是在读本科大三的时候，当时听了一门选修课“流形上的微积分”，授课老师是欧阳光中。笔者在40年前（1980年）听的这门课其实也是复旦大学数学系历史上第一次开设的选修课，它顺应了20世纪现代数学大发展对大学数学教改所提出的迫切要求。当时因为这门新选修课没有教材，系里就发了两本书作为教学参考书，一本是英文原版影印书《Calculus on Manifolds》（[1]，见图1），作者是M. Spivak，该书还有一个副标题是“高等微积分中一些经典定理的现代化处理”。另一本参考书是当时刚刚出版的翻译书《多元微积分》（[2]），作者是C. Goffman，该书前言的第一句话就是：“数学家们广泛地一致认为，多元微积分的现代处理应是数学训练的一个标准部分，并且应该尽可能早地讲授。” 图1：《Calculus on Manifolds》 欧阳光中老师的课具体分为五章，它们依次是：
欧阳光中老师的授课讲义后来由上海科学技术出版社正式出版，书名是《流形上的微积分》（[3]）。 1．微分流形理论的产生过程及其用处在17世纪解析几何与微积分诞生后，人们很自然地就运用微积分的方法来研究3维几何空间中光滑曲线与曲面的局部几何性质，例如可以用导数（或偏导数）来刻画它们的弯曲程度，也就是要计算包括曲线曲率和曲面高斯曲率在内的各种曲率。然而在1827年，数学家高斯的一个惊人发现彻底改变了古典微分几何研究的历史进程，将人们的主要关注点从研究曲面的外在几何特性转向了研究曲面的内蕴几何性质，并最终导致在20世纪产生了微分流形的定义和相关理论。 具体来说，高斯的这个发现是著名的“绝妙的定理”：
曲面的第一基本形式是仅仅依赖于曲面上曲线长度的不变量，当我们改变曲面的外部形状，并且不改变曲面上曲线的长度时（例如将一张平面曲面卷成一个圆柱面），由于此时没有改变曲面上曲线的弧长，那么根据高斯的绝妙定理，则改变形状后的曲面上每一点的高斯曲率都不会发生变化。这样，高斯就发现了高斯曲率是曲面几何的内蕴不变量，也就是发现了曲面有一种内在的几何，它与曲面的外在形状没有任何关系。这种具有内在弧长度量的曲面自然就成为了最早研究的2维微分流形。 接下来将内蕴几何思想进一步发扬光大的是数学家黎曼。在他的著名的1854年就职演讲中，黎曼提出了高维的“流形”空间的思想，这种空间独立于外在的欧氏空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（就像光滑曲面在局部类似于平面一样）。在这种抽象的流形空间中，可以设置不同的度量，用以计算曲线的长度，从而产生了“黎曼流形”的思想，并且黎曼将曲面的高斯曲率进一步推广到了黎曼流形上的黎曼曲率张量。和高斯曲率一样，黎曼曲率张量也是黎曼流形的内蕴几何不变量，它被黎曼流形上的度量所完全确定。就这样，黎曼将空间的度量性质与拓扑性质分离了开来。不仅如此，黎曼后来又将这种抽象空间的思想注入到了他的关于黎曼面的复分析研究工作中，而黎曼面实际上是一个2维的微分流形。 从20世纪初开始，庞加莱发现了流形的拓扑不变量：同调群和同伦群，嘉当对一种被称为“李群”的特殊微分流形和微分形式的理论进行了深入的研究，同时外尔又建立了黎曼面的系统理论，所有这一切才使得微分流形的概念慢慢清晰起来。随着拓扑学和整体微分几何的快速发展，大约到了20世纪的中期，就形成了我们今天所说的微分流形理论，也就是微分流形上的微积分理论。 微分流形的正式定义是这样的：设是一个满足某种分离性质的拓扑空间，如果在上有一个开集的覆盖 ，以及相应的光滑的坐标映射族，使得 （1）是从开集到欧氏空间开集上的同胚； （2）当时，转换映射 图2：n维微分流形图 简单地说，微分流形就是一种抽象的拓扑空间，它在局部可以与欧氏空间同胚，并且在整体上还覆盖了一组坐标卡，这样就赋予了流形一个微分结构。这个极为抽象的概念凝聚了几百年来数学发展的最精华的成果，为20世纪现代数学的大发展提供了一个广阔的舞台。现在，许多现代数学分支都要用到微分流形的知识。数学家阿蒂亚在他的“二十世纪的数学”这篇著名文章中总结了现代数学的四大特点是： (1)从局部到整体 试图理解事物整体和大范围的性质，例如在复分析、拓扑学、微分几何、数论和现代物理中，都从局部的小范围扩大到研究整体的大范围性质； (2)维数的增加 例如复分析从一个变量推广到 个变量，微分几何研究从研究曲线和曲面扩大到 维微分流形，从有限维线性空间推广到无限维的希尔伯特空间； (3)从交换到非交换 例如非交换的Grassmann的外代数已经融入微分形式理论，非交换的乘法产生了量子理论； (4)从线性到非线性 例如从研究线性偏微分方程扩大到研究非线性偏微分方程。 微分流形理论就与所有这四个特点有关，具体来说，微分流形的理论已经运用到了以下的各个数学分支学科中：
关于微分流形与这些分支学科的密切关系，可以写一篇很长的文章来详细地加以论述。例如现代数学的一个突出成果是著名的阿蒂亚-辛格指标定理，这个定理给出了紧致的微分流形上的线性椭圆算子的分析性质与该微分流形的拓扑性质之间的紧密联系。下面只从一本讲微分流形上的几何学的书（[4]）中摘录一段话，其中很好地解释了微分流形与现代微分几何、拓扑学、偏微分方程之间十分密切的关系：
这里所说的向量丛其实是一种特殊的微分流形，它是现代微分几何的一个基本概念，由一个微分流形上的全体切空间组成的“切丛”是向量丛的特殊情形。 2．关于Spivak的《流形上的微积分》今天再来重新读M. Spivak的《Calculus on Manifolds》，就会发现这本小册子虽然只有一百多页，但是它所包含的内容非常丰富，依次包括了以下五章：
前三章的内容基本上是数学分析课中学过的多元微积分的总结与提高，但从第四章讲微分形式开始就比较抽象了，特别是微分形式的外积运算与性质证明，看上去显得十分复杂。这一章用严格的多重线性代数的语言来重新表述了多元微积分的各种积分式中的“微元”的真正含义，即所有的微元本质上都是交错阶张量 ，它们在现代数学中的正式名称叫微分形式（或外微分形式）。 简单地说，张量就是一种取值为实数的“函数”，这种“函数”的“自变量”是微分流形上的切向量。为什么微元是张量呢？例如我们过去学过的三重积分中的微元的意义是无穷小长方体的体积，这是19世纪数学家们的观点。20世纪的数学家们所推崇的是布尔巴基的观点，这种观点信奉严格的结构主义，即全部数学只能建筑在代数结构、序结构和拓扑结构这三种结构之上，除此之外的内容都应不予承认。在现代数学中不容许有类似“无穷小体积”这样的模糊和神秘的说法，例如“无穷小”到底是多少，为什么微元不能写成 ，或，而一定要写成，就都是难以回答的问题。 微元的现代说法是这样的：我们在线性代数中已经知道，每一个维线性空间都有一个与其对应的对偶空间，设 是的一组基，则存在中唯一的对偶基，它们满足以下个等式： 这里的是克罗内克记号，即当 时为1，当时为0。现在我们把整个3维欧氏空间看成是一个微分流形，此时就可以将其中的每一个向量都理解成是方向导数意义下的切向量，并且将标准基向量(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)这三个切向量分别记为、和，那么这组基的对偶基正好就是、 和 ，它们称为1阶微分形式，让它们分别作用在这三个切向量上，就得到以下个等式： 这就是3阶微分形式 的实际意义，它在微分流形的理论中被称为“体积元”（volume element）。在微分流形上只要有了体积元，就能够用体积元来定义流形上的积分了。因此微分形式实际上就是古典意义下的微元 ，这个微元原来的意义是模糊的（尽管它具有某些启发意义），但是现在它作为一个3阶交错张量，其意义是明确的，并且根据反交换律，可以有像 这样的等式成立。 一般来说，在维欧氏空间的每一点处，都可以构造类似这样的阶微分形式，其中的 。每个阶微分形式 都能写成 其中的每个1阶微分形式 如果作用在切向量上，则满足等式 对于每个阶微分形式 ，还可以定义它的外微分， 是一个阶的微分形式。 接下来，在这本书的第四章中，作者还将一元微积分中经典的牛顿-莱布尼茨公式推广到了高维的情形： 这里的是 阶微分形式，是被称为“ -链”的 维正方体的同胚像， 是 的边界。Spivak将这个公式称-链上的Stokes公式。 然后在最难的第五章“流形上的积分”中，作者给出了一种空间中微分流形 的简化定义，这样便能定义 上的微分形式，从而就能够给出微分流形上一般的Stokes定理的正确表述，并且可以用 -链上的Stokes公式来证明微分流形上的Stokes定理。在第五章的最后一节，作者进一步严格证明了过去曾在多元微积分中学过的几个常用经典公式（Green定理、散度定理和经典的Stokes公式），它们其实都是微分流形上一般的Stokes定理的特殊情形。就这样，作者Spivak通过运用了现代数学中非常精密的微分拓扑与多重线性代数的方法，把传统多元微积分中比较微妙和说不清楚的地方彻底严格化了。 不仅如此，这种严格化了的“流形上的微积分”方法还可以进一步运用到各种各样的流形上，包括黎曼流形、洛伦茨流形、辛流形和复流形，甚至是非常抽象的代数簇（代数簇也称为“代数流形”）。现在看来，这本在半个世纪前写的教材对于在欧氏空间中简化微分流形的理论，以便能够用于本科教学，处理得还是相当好的，并且成为了此后编写的多元微积分现代教材的典范。然而在当时笔者并不能领会其中的奥妙。 由Spivak的《流形上的微积分》，可以联想到多元微积分和微分几何这两门大学数学课程的教学改革问题。国内数学专业的多元微积分一般都是放在数学分析课的第3学期来讲的，接下来的第4学期便有微分几何课。在这两门课中，微分的概念基本上还是按照19世纪传统意义上“无穷小量”的理解来讲授的。 例如在微分几何课本中，有著名的第一基本形式 可以用它来计算曲面上曲线的长度和曲面的面积。在这里， 和 是1阶的无穷小量，而 、 和 都是2阶的无穷小量，人们似乎有意无意地将这些无穷小量也当成普通的数那样来对待，例如有时在上面这个等式的两边去除以无穷小量 等等。虽然用这种有问题的操作也能得到正确的结果，并且这些“无穷小量”也具有近似计算方面的启发价值，但是如果作为严格的基础性的概念标准来看，它们在本质上又与现代数学的精神是格格不入的。现代数学的观点是把 和 看成是曲面 的切空间（在这里是切平面）中一组基的对偶基，它们是切空间上的取值于实数的线性泛函。 在第一基本形式的实际使用过程中，其实都是通过运用导数来完成的。例如，设， 是曲面 上的一条曲线，由于 所以该曲线的长度是，其中的被积函数是 这里的、 和正是第一基本形式的三个系数。因此，我们完全可以避开微分来计算曲面上曲线的长度。事实上，微分几何课程中所有涉及到运用微分的公式，都可以像这样改成只用导数（或偏导数）的公式，而导数则是确定的数量，不像微分那样有些似是而非的感觉。最近四十年来国外出版的微分几何初级教材基本上都在尽量回避古典意义上的微分。 再来看多元微积分，目前国外教材的普遍做法是尽可能地运用线性代数来讲欧氏空间上的多元微积分，并且明确要讲欧氏空间中微分形式的积分，特别是要用微分形式来证明欧氏空间中一般的Stokes定理。例如笔者手头有一本1982年出版的美国多元微积分教材《Multivariable Calculus》（[5]），它就是这样做的。全书共有17章，分别包含了以下内容：
这本书的基本框架和Spivak的《流形上的微积分》一样，只是讲法更加浅显，论述和举例更加详细和丰富。另一方面，为了减轻学生的负担，该书在讲解微分形式时，没有采用Spivak的书中那样的张量讲法，而代之以公理化的相对简单的讲法。该书先从形式上规定微分形式的加减和外积的乘法（但是不用外积的符号“ ”，以便更符合传统的习惯），这种乘法具有 反交换律： 这样就能够推导出 。然后再证明关于外积的一系列性质，接下来像通常那样定义微分形式的外微分，以及证明外微分的性质。最后再给出微分形式 在可微映射 作用下的“拉回”微分形式的不变性质，从而完成了定义微分形式的积分的全部准备工作。有了微分形式的积分后，该书就能够严格证明欧氏空间中一般的Stokes定理，从而将前面讲过的关于曲线积分的Green定理、关于曲面积分的经典的Stokes公式提升到了更高的层次。 3．关于Boothby的《微分流形与黎曼几何引论》对于微分流形理论，上面Spivak的书毕竟只是一个简化了的入门教材。要想真正全面地学习和掌握微分流形理论，就需要重新找一本基础性的参考书。 关于学习一门新的数学课程（或理论）的方法，笔者的读书体会是只要抓住一、两本最基本的参考书看透看熟就可以了，千万不要东看看，西翻翻，从表面上看好象读了不少书，但是没有一本是真正精通的。之所以不能这样，是因为像数学这样的只讲抽象推理理论体系的学科，与其他学科的性质是完全不同的。例如对经济学、文学、物理学等研究具体的自然科学与社会科学的学科，一定要博览群书，了解各种各样相关的理论与事实，看的书越多越好。相反，对于每一门数学理论，只要精通了最基本的一、两本书，那么其他同类数学书的主要内容与结构也就基本清楚了，所不同的只是一些次要内容的处理。 美国数学家W. M. Boothby写的《微分流形与黎曼几何引论》（[6]，见图3、图4）就是这样一本值得反复精读的基本参考书。它在1975年出了第一版，立即受到高度赞扬和普遍的欢迎。然后在1986年继续出了第二版，对许多论述作了改进，并且该书在2003年又出了第二版的修订版，改正了一些细小的错误，使得该书的质量又有了进一步的提高。作者在前言的开头这样说： ★ 为此作者采用了比其他的微分流形书更浅显的讲解方法，并且不像别的书那样面面俱到。该书更加强调与前面学过的多元微积分的联系，在引入新的思想时，注重交代这些数学思想的内在动机是什么，并且不惜篇幅，一步步地循序渐进，用启发性的方法尽可能具体地仔细讲解，而不是追求通常的数学命题的一般性和数学写作的简洁与精练。特别是对重点的内容就更是这样，例如对于微分流形这个最基本的概念，该书仔细解释了一批常用的微分流形的例子，其中就包括李群，特别是矩阵群，还有某些商流形。又如在讲解黎曼流形上的积分时，从欧氏空间上的黎曼积分开始讲起，详细解释了其中所必需的体积元(即阶微分形式)的概念，还有在讲解张量和向量丛时，使用的是具体的讲法，而不是用更抽象的代数讲法等。 图3:《微分流形与黎曼几何引论》封面照 图4:《微分流形与黎曼几何引论》封底照 和别的书有所不同，作者Boothby还特别注意发挥自己的数学家所长，努力运用书中给出的微分流形方法来解决一些典型的数学问题，以便让读者看到微分流形理论的实际用处。例如在第6章中，作者用微分形式的de Rham群（而不是代数拓扑的方法）来证明了著名的Brouwer不动点定理和偶数维球面上不存在无处为零的连续向量场的定理，并且通过证明了紧李群上双不变测度的存在性，从而推导出了这类李群的线性表示的完全可约性。作者还在最后两章进一步精心安排了微分流形理论对黎曼几何与对称空间的一些应用的实例。这些有意思的内容在其他的微分流形书里是很少见到的。 Boothby的《微分流形与黎曼几何引论》一共有8章，它们分别包含了以下主要内容：
笔者比较欣赏Boothby的书的另一个特点是，在每一章的开头和结尾，都要用小字来详细地交代这一章的内容及介绍本章数学思想的来龙去脉，这样读者就能对这一章的内容及作者的意图了然于胸。特别是在每章的结尾，作者都要用一至两页的“注解”（Notes）来详细地解释微分流形理论中各项内容的思想来源及其应用，极富启发作用。比如在正式引进微分流形概念的第3章的末尾注解中，作者详细介绍了微分流形概念在历史上曲折的产生过程，从中可以让读者更能体会这个概念丰富的思想内涵。该书所有的注解中还附有与各章内容相关的文献供读者进一步阅读，这等于是向读者指明了学完微分流形的理论后下一步前进的方向。 4．关于微分流形切向量的引入微分流形上的切向量是欧氏空间中曲线与曲面上切向量的一般推广。在欧氏空间中直观地来看，除了平面以外，一般曲面的切向量总是会“跑”出该曲面（见图5），然而，切向量只是用于确定切平面中的一个方向，因此它其实可以理解成是曲面内蕴的性质。 图5：曲面的切向量 在抽象的高维微分流形的每一点处也可以定义切向量。这种看不见摸不着的切向量对微分流形来说是非常基本的。这是因为 n维微分流形上每一点处的切向量全体都分别组成了一个 n维的线性空间，用这些线性空间的对偶空间的元素就可以构造流形上的微分形式，由此便能够在微分流形上进行包括微分与积分在内的各种运算。 学生在开始学习微分流形时的一个主要困难是切向量很抽象。不少微分流形的书在引入切向量的概念时，直接就下一个切向量的定义，这对学生来说是很难理解的。Boothby的《微分流形与黎曼几何引论》在引入微分流形的切向量方面，可以说是所有同类教材中写得最仔细的。该书先从学生熟悉的欧氏空间中的多元微积分讲起，然后用几何的方式在欧氏空间 的每一点都定义一个切空间，并且将以前读者熟悉的欧氏空间方向导数（即梯度算子 ）概念重新表达成流形上切向量的抽象语言，即点处的每一个切向量都要满足以下两个等式： （1） ；（线性性质） 其中 和 是实数， 和 是定义在 点附近的无穷次可微函数。这样，切向量实际上就是作用在可微函数集上的满足这两个等式的“算子”。虽然这与直观的曲线与曲面切向量的形象相距甚远，但这两个等式实际上是刻画了切向量的本质特征（这是现代数学公理化方法的又一个例证，说明从最本质的公理出发可以得到最丰富多彩的结论）。当抽象的流形变成具体的曲线和曲面时，由算子组成的切空间自动地成为曲线的切线和曲面的切平面。为了让学生正确理解流形上切向量的概念，像Boothby这样进行的细致讲解，是完全有必要的。 5．关于自然标架切向量的记号在微分流形的入门教学中，人们经常用同一个记号来既表示流形上的第个坐标函数，又表示这个函数在欧氏空间上的坐标表示函数。在许多人看来，这个细小的做法是约定俗成和微不足道的，但在笔者看来它却可能给初学者带来了一些不便，甚至会影响学生对于流形上的切向量以及其他相关内容的准确理解。 设是维微分流形，点，是 的坐标卡，坐标映射 实际上由个定义在流形上的坐标函数所给出，即有 。此时定义在 上的可微函数 在 上的坐标表示函数就是 ，它定义在欧氏空间上（见图6）。 图6：坐标表示函数示意图 所有的微分流形书里都会证明：点处的每一个切向量都可以通过个被称为自然标架的切向量 来唯一地线性表出。由于在流形上成立对偶关系式 ，并且余切向量 可以看成是对定义在流形上的坐标函数所求的外微分，所以切向量 记号中的显然指的就是流形上的坐标函数，而不是它的坐标表示函数 。由于在多元微积分中自变量通常都是用来表示的，所以有些微分流形教材为了避免麻烦，把定义在上的函数 也记成，从而又将 当成了定义在 上的坐标函数。这样的混淆可能会给学生带来一些困难。例如在这些教材中，出现了这样的式子： 上式右边的上偏导数记号中的 指的是欧氏空间上函数的自变量（因此 是欧氏空间上的切向量），这与左边切向量记号中 的含义不一样。这种对记号的混用不仅可能影响到学生对切向量的理解，而且他们在后面的学习中要时时注意从上下文来判断所出现的 究竟是指哪个坐标函数：在流形上的余切向量公式 中的表示的是流形上的坐标函数，而在Stokes定理的证明过程中将上的微分形式 “拉回”到维欧氏空间中时，所出现的就是普通欧氏空间上的坐标函数（或欧氏空间中多元函数的自变量）。这样的混用做法对教学来说当然是不方便的。 在国内外出版的各种微分流形教材中，Boothby 写的《微分流形与黎曼几何引论》在区分微分流形上和欧氏空间上这两种切向量方面是做得比较彻底的一本。很可能是作者在实际的课堂教学中发现：只有将两者非常仔细地区分开来，才能使学生更好地理解微分流形上的切向量。虽然在这本书中，坐标函数是定义在微分流形上的函数，但是该书将欧氏空间 中的自然标架切向量始终都记为 。该书在详细地讲解了微分流形和切向量的定义后，引入了两个流形 和 之间映射的微分的概念（即切映射）：对上 点处切向量 和定义在附近的可微函数 ，有 这个切映射也叫“推前”(pushforward)。将这个定义用到坐标映射的逆映射上，注意到 就是 中点处切空间与 上 点处切空间之间的一个同构，运用这个同构将 点处的所有切向量 都“推前”到 点处切空间中（见图7），就得到了流形 上 点处 个自然标架切向量： Boothby在全书中都用 来表示流形上的自然标架切向量，将其与欧氏空间中的自然标架切向量 严格区分开来。现在按照定义（1），有 这样就明确指出了：自然标架切向量 作用在函数 上就是对欧氏空间中 的坐标表示函数 进行普通的求偏导数的运算。 图7：同构示意图 不过，Boothby的记号也有一个明显的缺点：它与在微分流形上将自然标架切向量记为 的通行习惯做法直接相违背。Boothby仅仅将 用来作为欧氏空间上的自然标架切向量，这就太可惜了这个神奇记号的无限魅力：在微分流形上这个记号使用起来确实很方便，因为它有欧氏空间偏导数的类比！从某种意义上说，只能描写局部现象的多元微积分正是通过这种类比而变成了可以描写整体现象的“流形上的微积分”。就连Boothby自己也受到这种习惯记号的强大影响，在他的书中出了一个小小的差错：在该书第2版（修订版）第152页习题3中，他分别将本应该写成的 和 误写成了 和。 对于这个问题的另一种解决方法是由John M . Lee在其写的微分流形名著《光滑流形导论》（[7]，见图8）中给出的。虽然该书还是像许多教材那样将混同于 ，并且用同一个 既表示流形上的自然标架切向量，又表示欧氏空间上的自然标架切向量，但是用下标来显示两者的不同，此时，上面的（2）式就变成了（见[7]的第69页）： 如此用右下角的 和 来加以区分，也不失为一种聪明的做法：既保留了传统的流形上自然标架切向量的习惯记号，又照顾到了欧氏空间上多元函数自变量的习惯记法。Lee在他的书中还画了许多直观的图形来表示微分流形上的各个概念和定理的确切含义，这极大地帮助了读者来理解相关的基本概念与定理。和Boothby的书一样，Lee的《光滑流形导论》也是一本写得十分出色、值得反复阅读的微分流形基本教材。 图8：《光滑流形导论》 还有一种做法是将欧氏空间多元函数的自变量的记法作出让步，即从传统的 改成另一个字母，例如 。于是（4）式就可写成 而上面的（3）式就是 像这样的记号用在微分流形的初级课本中，可以做到前后逻辑一致，记号互不干扰。事实上，也有一些教材是这样做的（例如[8]）。 6．关于微分形式的两种外积微分形式之间的外积运算是微分流形上的一种基本运算。然而有点烧脑的是，在关于微分流形（或现代微分几何）的书中，存在着两种不同的外积定义，它们的区别只相差一个非零的常数倍数。在Boothby的书中，外积的定义是这样的（不妨称为定义一）：若是交错阶张量， 是交错 阶张量，则它们的外积是 其中的是张量积在交错变换下的像。而在小林昭七、野水克己写的《微分几何基础（第一卷）》（[9]）中，外积的定义（称为定义二）却是 虽然这两种外积定义都可以推导出各自正确的理论结果，但是麻烦在于：从它们分别推导出来的各种公式中，有时是一样的，有时却不相同。例如在运用了定义一的Boothby的书中，对1阶微分形式 进行外微分的公式是： 而在使用了定义二的微分流形书中，这个公式是这样的： 这种情况在其他的数学课程中是极少遇到的。初学者们有时会感到困惑，例如笔者曾经有一段时间面对两本采用不同外积定义的教材时，会感到有些不知所措，不知道怎么将这两本书的结论联系起来。后来笔者作了一些调查，发现在国外出版的各种微分流形（或现代微分几何基础）的教材中，至少有五分之四的书的外积定义采用了定义一，并且一般来说越新的书采用定义一的可能性就越大。在笔者所看到的国内出版的14种讲微分流形（或现代微分几何基础）的书中，只有3本书的外积采用了定义二（在这3本书中，有一本近年出版的微分流形教材虽然在正文中用定义二，但是它有一个关于外微分的重要习题却用到了定义一，这说明有关外积定义的这个不起眼地方确实容易疏忽，就连写书的教师都不能例外）。另一方面从比较权威的数学辞书角度看，国内新编的《数学大辞典》（第二版）中的外积定义采用的是定义一，日本新编的《岩波数学辞典》（第四版）也采用了定义一。 之所以国内外绝大多数的微分流形（或现代微分几何基础）教材的外积运算都采用定义一，主要原因是由定义一推导出来的公式一般都比由定义二推出的公式更为简单。例如，设 是 维线性空间，它的一组基是 ，而 是其对偶基，则对于由定义一来定义的外积 ，成立 参考文献[1] M. Spivak，流形上的微积分（双语版），北京：人民邮电出版社，2006 . |
|
|
