从模论角度看线性代数

作者：李克正

线性代数中的一些重要的基本事实, 证明甚至陈述都不简单, 很少同学能记住。而这些事实用抽象代数特别是交换环上的模可以很简单地陈述和证明, 如果弄懂了很容易记住。本文对此做一个全面的处理。

设 为域, 为 上的 维线性空间。记 为 的 -线性自同态的集合。若取定 的一组 -基, 则 的元可以表为 上的-矩阵。下面是线性代数中的几个重要的基本事实。

1

对任一 , 令 为 在 的一组-基下所对应的 -矩阵, 则可用拉普拉斯展开定义行列式

其中

这个定义与基的选取无关, 故可记 。对任意 有

换言之对任意两个 -矩阵 有

特别地, 若 是 -自同构则

记 为将 的第 行和第 列划去所得的矩阵,, 则有

令 (即 - 元为 的矩阵), 则可将 (5) 改写为

其中 为 阶单位方阵。由此可见若 则 是可逆阵且

2

令 , 称为 的特征多项式, 它由 决定而与基的选择无关, 故可称为 的特征多项式且记为 。一个元 满足 当且仅当存在非零向量 使得 , 此时称 为 (或 ) 的一个特征是。

哈密尔顿-凯莱定理说 , 这也可以表达为 , 其中

由此可令 为满足 的次数最低的首一多项式 ,称为 的最小多项式, 它也是 的最小多项式, 即满足 的次数最低的首一多项式 , 并可记为 。

3

存在行列式为 1 的 阶多项式方阵 使得

其中 为首一多项式且 , 它们由 唯一决定而与基和 的选择无关, 称为 (或 ) 的初等因子。

我们有 。

4

两个 阶方阵 称为相似的, 如果存在 阶可逆方阵 使得。

相似性的判别准则说, 两个矩阵相似当且仅当它们有相同的初等因子。

5

设 , 即 为复方阵。由代数基本定理可知 可以分解为一次因子的积。设

其中 为 的所有互不相同的特征值。

存在 阶可逆复方阵 使得

其中每个 形如

(为 的特征值), 称为 的一个若尔当块, 而 (11) 称为 的若尔当标准形, 若不计 的次序, 它由 唯一决定, 且 的每个特征值都在至少一个 中出现。

以下利用模论给出上述定义和基本事实及其推广。

1.外积与行列式

回忆外代数的定义: 对一个 维 -线性空间 有一个张量代数

其中 的非零元称为 次。注意 的乘法由张量积给出, 即对 , , 在 中的象, 则 。注意对任意 有, 从而对 及 (11) 中的 一个项 有

使得 存在 使得, 由行列式的定义和 (10) 有

是任意的, 这就给出

注意 (15)左边等于 , 故有

若, 则由 (16) 得

特别地, 令 , 记 , 则在 可逆时有

这样由 和 就可以给出 。若 在一组基 之下由矩阵 给出, 则 有一组对偶基 (即 )。易见按这组基, 对应的矩阵为, 其中 为将 的第 行和第 列划去所得的矩阵, 故在基 之下, 由矩阵 给出, 这就是熟知的逆矩阵公式

其中 (第 行 列的元) , 称为 的 -代数余子式。通常称 为 的伴随矩阵, 由 (19) 有

若 , 则由 (20) 可见 为可逆阵; 反之, 若 为可逆阵, 则由 可见 , 总之有

❝

「事实一」 设 为域 上的有限维线性空间, 。若, 则对任意 , 是 的自同构, 其逆由 (17) 给出。特别地, 可逆当且仅当。一个域 上的方阵 为可逆阵当且仅当, 此时 由 (19) 给出。

❞

由此即可得到解线性方程组的克莱默法则。

2. 多项式矩阵

前面提到线性代数中的定理: 对 上的任一 阶方阵 存在行列式为 1的 阶多项式方阵 使得

其中 为首一多项式且。在群论中有定理: 对任一 秩 自由阿贝尔 (加法)群 及其任一子群 , 存在 的一组自由生成元 及非负整数 使得 由 生成, 从而

这两个定理都是下列事实的特殊情形。

❝

事实二 设 为欧几里德环, 则对 上的任一 -矩阵 可取 上行列式为 1 的 -矩阵 和 -矩阵 使得 为准对角阵 , 其中 ,且若不计单位因子由 唯一决定。由此可知若 为有限生成的自由 -模, 为 的 -子模, 则存在 的一组自由生成元 及, 使得 由 生成, 特别地 也是自由 -模。

❞

*证：*设 为 的一组自由生成元, 则因 是诺特环, 也是有限生成的。任取 的一组生成元 , 则每个 可唯一表为

于是我们得到一个 上的 -矩阵 。 记, , 则可将 (3)简记为

若将 的生成元改为 (), 令 ,

从而 (4) 给出

即每个 也可以表为 的-线性组合。类似地, 若 为 的另一组自由生成元, (), 令 ,

由于每个 也可以表为 的 -线性组合, 存在 矩阵, 故

, 这样就有<section role="presentation" data-formula="m" =c^{-1}m\tag{10}="" '="" data-formula-type="block-equation">

而由 可见 为单位。

我们下面用变换 (5) 和 (8) 来化简 (4), 换言之, 若将 的生成元换为, 同时将 的生成元换为, 则由 (4), (7), (8) 得

我们寻找 使得 尽可能简单。为此我们可以多次更换生成元。

首先我们考虑 为平延阵, 即对角线上为 1 而其余元只有一个非零的情形。此时 相当于将 的某行乘以一个元加到另一行上的初等变换。也可以对任意 取 为 , 和 () 元为 1 而其他元为 0 的矩阵, 故也可以得到对 对调两行的初等变换, 还可以取 为 对角线上有一个 , 个 1而非对角元为零的矩阵, 此时 相当于将 的某行乘以 。类似地, 若 为平延阵, 则 当于将 的某列乘以一个元加到另一列的初等变换, 也可以作对调两列的初等变换。

由所设 是欧几里德环, 即存在一个函数 使得对任意 存在 满足 且 或。为简单起见不妨设 且令 。

设 的某一列 (第 列) 有两个非零元 和 ,, 则可取整数 () 使得, 将 的第 行 乘以 加到第 行, 就将 变为 。如此反复作下去, 则由辗转相除法最终可将 和 变为 0 和 。同样对 的任一行的两个非零元也可以通过多次初等 变换将它们变为二者的最大公因子和0。如果 的每行都至多只有一个非零元, 每列也都至多只有一个非零元,则可将某一行加到另一行再用上面的变换方法,从而得到不同行列的元的最大公因子。这样, 我们可以通过初等变换使 的某个元变为 的所有元的最大公因子 , 再用初等变换将 移到 的左上角, 并可用初等变换将第 1 行和第 1 列的其他元变为 0, 换言之将 化为形如

其中 为零向量, 为零列向量。对 (12) 可以继续作初等变换, 但不涉及 第 1 行和第 1 列, 这相当于对 作初等变换, 从而又可以将 的元的最大公因子放到 的左上角, 等等。总之, 通过多次初等变换可将 变为拟对角阵

因此, 若按 (5) 和 (8) 来更换 和 的生成元, 则有 为另一个 -线性空间而 ,

因为 是-模同态当且仅当 ()。

注意 是欧几里德环, 而 作为 -模的最小生成元个数不超过, 故由事实 2 和推论 1 可见 作为 -模有分解

注意 , 故每个 ,我们可取 为首一多项式。

任取 的一组 -基 , 令 为 在这组基下对应的矩阵, 则由定义 (), 故 (这可以理解为 个等式, 或 在 上的作用为 0)。注意多项式矩阵 所定义的 -模 的-维数不超过 (因为其中任一元可以表为 元 -向量), 而 是 的 商模且 , 故 , 换言之 可看作 所定义的 -模。再由事实 2 可见 由 唯一决定, 且

由 (3) 可见, 但没有次数低于 的多项式 使得, 这说明 ; 再由 (4) 即可见, 这就是哈密尔顿-凯莱定理。总之有

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推论2 设 为域 上的 维线性空间, 。任取 的一组-基并令 为 在这组基下对应的矩阵, 则 作为 上的模有分解 (3), 其中 为 的初等因子, 即 按事实 2 所化成的对角形的对角元。此外 (4) 成立, 其中 , 且哈密尔顿-凯莱定理 成立。

❞

注1 哈密尔顿-凯莱定理的一个常见证明按上述记号可改述为: 由 得, 而由 (1.20) 有, 故, 即 。

4. 相似方阵

设 为两个有限维 -线性空间, ,。分别取 的基, 令 分别为 在所取基下对应的矩阵。记 并将 和 看作-模。设 为 -线性映射, 则由上节 (2) 式可知, 为-模同态当且仅当 。若令 为 在所取的两组基下对应的矩阵, 则这等价于 。特别地, 若 而 为 -线性同构, 则 为 -模同构当且仅当, 或 , 即 与 相似。

由推论 2 可见 和 作为-模同构当且仅当它们有相同的初等因子, 而这又等价于 存在两个行列式为 1的 多项式矩阵 使得 。总之有

❝

推论3 设 为任意域, , 为 上的 阶方阵。记 , 分别为 给出的 的 -模结构, 则下列三个条件相互等价:

• i. 存在可逆 -方阵 使得 ;
• ii 存在 -模同构 ;
• iii 与 相似, 即存在 上的 阶可逆方阵 使得。

❞

5. 若尔当标准形

若 是代数闭域 (例如 ), 则 中的首一不可约多项式都是形如 (), 此时由推论 1 可知 作为 -模同构于形如 的循环模的直和, 详言之

其中每个直加项 都是 -子模, 即-不变子空间 (-维数为 )。若对 每个 取一组 -基,则它们合起来组成 的一组 -基, 而 在这组基下的矩阵由-对角块 () 组成。对每个 可取 -基(记 为 在 中的像)

注意 () 而, 由此得

故 在这组基下所对应的矩阵为

即一个若尔当块。对每个 都这样取 -基即得到 的若尔当标准形。 

若 是一般域, 用上面的讨论仍可建立若尔当标准形理论。