深入浅出——范德蒙矩阵

从行列式开始

范德蒙行列式是长这个样子滴：

然后呢，它的转置也叫做范德蒙行列式：

为什么呢？

因为矩阵转置，行列式的值不会变

这里我就不推导了，直接给出范德蒙行列式的值：

这是什么意思呢？

假设有如下的范德蒙方阵：

那么它的行列式等于：(3-2)*(5-2)*(5-3)=6

假设4阶范德蒙行列式中有四个数2，3，5，7那么就等于(3-2)(5-2)(7-2)(5-3)(7-3)(7-5)=240

考试中经常出现与范德蒙行列式类似的结构，它们就差了那么一点点，我们需要做的就是将之转化为标准的范德蒙行列式便于计算。这里我举一个例子。

上面这个行列式长得太像范德蒙矩阵了，只是没有三次项，我们给它补上。

这里除了补上三次项，还有未知数x，为什么呢？当然首先是只有方阵才有行列式。

这样整个行列式的值为：

我们仅看 x^3 项的系数（负的原行列式的值）就是答案：

怎么理解呢？原因就是代数余子式按列展开等于行列式的值。

（1,x,x^2,x^3,x^4）^T按列展开一次得到对应级次的系数，我们这里只取x^3的系数就是对应上上个矩阵行列式的值了。

性质

范德蒙矩阵的性质不多，有两条值得说一下：

范德蒙矩阵与多项式的最小二乘拟合

最后我想谈一谈范德蒙矩阵在多项式的最小二乘拟合中的应用

用一个多项式去拟合若干个点：

假设有n个采样点，拟合次数为k次，那么方差可以表示为：

为求得方差的极小值，对a0,...ak依次求偏导为0。

移项

看起来很乱，写成矩阵形式试试：

em...这就是个什么矩阵，看起来好复杂滴

哈哈，我们观察变形一下：

上面的矩阵可以写成范德蒙矩阵相乘的形式哦！

我们简记上面的矩阵为：

X是竖着的范德蒙矩阵。这样向量a等于：

这里有个很关键的点，范德蒙矩阵不一定是个方阵，即采样点多于拟合多项式的最高次数，不是方阵就没有逆，但是只要不存在相同的两个采样点，那么

一定是存在逆矩阵的，多项式的系数向量a也可表示出来了。

这就是基于最小二乘法的多项式拟合原理！

头条不好写公式，谢谢阅读

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