对偶空间

贤人好客 2010-06-22

展开全文

对偶空间

来源：http://zh./wiki/%E5%AF%B9%E5%81%B6%E7%A9%BA%E9%97%B4

对偶空间构造是行向量(1×n)与列向量(n×1)的关系的抽象化。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度,分布及希尔伯特空间提供重要的观点。对偶空间的应用是泛函分析理论的一特征。傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。

来源：(http://blog.sina.com.cn/s/blog_4e3141320100d6rg.html) - 对偶空间_yjssx_新浪博客

1 代数的对偶空间

代数的对偶空间

设V为在域F上的向量空间，定义其对偶空间V^* 为由V到F的所有线性函数的集合。即是V的标量线性变换。V* 本身是Ｆ的向量空间并且拥有加法及标量乘法：

$(\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,$

$( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,$

∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在张量的语言中,V的元素被称为逆变(contravariant)向量而V*的元素被称为协变(covariant)向量，同向量(co-vectors)或一形(one-form)。

例子

如果V是有维限的,V*的维度和V的维度便相等; 如果{e₁,...,e_n}是V的基，V* 便应该有相对基 {e¹,...,eⁿ}，记作：

$e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.$

如果V 是平面几何向量的空间，V* 便是一组组的平衡线。我们能从平衡线应用到任何向量产生一个标量。

如果V是无限维度，eⁱ 不能产生V* 的基;而V* 的维度比V的大。

例如空间R^(ω)的元素是实数列，其拥有很多非零数字。R^ω的双对空间是所有实数数列的空间。这些数列(a_n) 被用于元素(x_n) 而产生∑_na_nx_n。

线性映射的转置

设 f: V -> W 是线性映射。 f 的转置 ^tf : W* → V* 定义为

${}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,$

∀ φ ∈ W*.

对任何向量空间 V,W，定义 L(V,W) 为所有从 V 到 W 的线性映射组成的向量空间。f |-> ^tf 产生从 L(V,W) 至L(W ^* ,V ^* )的单射；这是个同构当且仅当 W 是有维限的。

若线性映射 f 表示作其对 V,W 的基之矩阵 A , 则 ^tf 表示作其对 V ^* ,W ^* 的对偶基之转置矩阵。若 g: W → X 是另一线性映射，则 ^t(g o f) = ^tf o ^tg.

在范畴论的语言里,为任何向量空间取对偶及为任何线性映射取转置 都是向量空间范畴的逆变函子。

双线性乘积及对偶空间

正如所见，如果V拥有有限维度，V跟V*是同构的，但是该同构并不自然；它是依赖于我们开始所用的V的基。事实上，任意同构Φ (V → V*) 在V上定义了一个唯一的非退化的双线性型：

$\langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,$

相反地从每个在有限维空间中的非退化的双线性积可以产生由V映射到V*的同构。

到双对偶空间内的单射

存在一个由V到其双对偶V**的自然映射Ψ ，定义为

(Ψ(v))(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.

Ψ 常是单射; 当且仅当V的维数有限时, Ψ 是个同构。

连续对偶空间

处理拓扑向量空间时，我们一般仅感兴趣于该空间射到其基域的连续线性泛函。由此导致连续对偶空间之概念，此乃其代数对偶空间之一子空间。向量空间 V 之连续对偶记作 V′。此脉络下可迳称连续对偶为对偶。

线性赋范向量空间 V （如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间）之连续对偶 V′ 产生一线性赋范向量空间。对一 V 上之连续线性泛函，其范数 ||φ|| 定义为

$\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| <wbr>: \|x\| \le 1 \}$

此法变一连续对偶为一线性赋范向量空间，实为巴拿赫空间。

例子

对任意有限维之线性赋范向量空间或拓扑向量空间，正如欧几里德空间，其连续与代数对偶不二。

令 1 < p < ∞ 为实数，并考虑所有序列 a = (a_n) 构成之巴拿赫空间 l^p，使其范数

$\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}$

有限。以 1/p + 1/q = 1 定义 q， l^p 其连续对偶遂自然等同于 l^q：给定一元素 φ ∈ (l^p)， l^q 中相应元素为序列 (φ(e_n)) ，其中 e_n 谓第 n 项为 1 且余项皆 0 之序列。反之，给定一元素 a = (a_n) ∈ l^q，l^p 上相应之连续线性泛函 φ 定为 φ(a) = ∑_n a_n b_n （对一切 a = (a_n) ∈ l^p）(见 Hölder不等式)。