【原】Tautochrone | 表示的直和，对偶与张量积

作者介绍：英国牛津大学 Mathematical Institute

在本章中，我们通过向量空间的一些构造，从原有的表示得到新的表示。照例指代有限群，指代基域。

下面我们定义表示的直和，对偶和张量积，以给出向量空间上的作用的方式。注意到群作用在上定义了左模结构当且仅当这个群作用是线性的。

定义 4.1 表示的直和

设和是模。向量空间外直和上可以定义模结构如下：对于，，，

上提供的的表示称为上提供的表示的直和。

定义 4.2 表示的对偶

设是模。对偶空间上可以定义模结构如下：对于，，，

上提供的的表示称为上提供的表示的对偶表示。

定义 4.3 表示的张量积

设和是模。上的张量积空间上可以定义模结构如下：对于，，，

上提供的的表示称为上提供的表示的张量积。

注意表示的张量积是左模，不是。因为未必是右模，所以未必是左模。

命题 4.4

设和是模。则上有模结构，由如下方式给出：对于，，，

证明：

注意到向量空间的自然同构：。利用对偶表示和张量积表示的定义即可得到结果。

接下来我们设，研究左模的直和分解。

定义 4.5 对称方空间，交错方空间

设，是向量空间。考虑的如下子空间：

• ，称为的对称方空间；
• ，称为的交错方空间。

引理 4.6

设，是向量空间，。则，。

证明：

这是线性代数知识。注意到若是的一组基，那么是的一组基，是的一组基。

命题 4.7

设，是模。能分解成子模的直和：。

证明：

考虑2阶置换群。上有中心正交幂等元和。它们给出了到双边理想的分解：

对于任意模，有对应的分解：

在上有线性作用：对，

于是也是模，有

注意到和在上的作用是可交换的，因此的子模和同时也是子模。

把这个构造推广到作用于上，即可以把分解成子模的直和，其中每个都是的一个既约表示。这个构造称为Schur函子。（我们讲义在这个提了一下，我也不知道这是个什么有趣的东西......）