“广义相对论的钥匙：张量”专题之三

本专题过往文章：

1. “广义相对论的钥匙：张量”专题之一

2. “广义相对论的钥匙：张量”专题之二

上一节，我们研究了向量空间以及其中的向量：

向量空间的基和向量都是张量：

下面来介绍线性代数中另外一个重要组成部分，余向量以及对偶空间。

1 余向量

1.1 什么是余向量（covector）？

空间中的直线、平面这些“线性”的几何对象，也是线性代数所关心的。

比如平面中的一条直线，很显然与坐标无关，是一个几何对象：

此直线在不同的基下有不同的代数表示：

直线符合之前说的张量的特点：

• 直线是一个几何对象，它与基无关

• 不同的基下，有不同的代数表达

• 并且，不同的坐标值之间有明确的转换规则

表示直线、平面这些“线性”的几何对象的就是余向量，也是张量的一种。

1.2 余向量的细节

刚才的直线，在直角坐标系下：

对应的直线方程为：

在正交单位基下，可以用这个式子来表示：

此处，可认为行向量  ，就代表了这根直线，也就是所谓的余向量。

更严格来说，应该把余向量看作表示这根直线的线性函数：

给行向量一个符号：

那么，这样表示看着是不是更像函数：

值得注意的是，余向量是  的话，它代表的线性函数并没有指定等号右边必须为0：

实际上，它代表了所有平行的直线。

写成线性函数的样子就是这样的：

1.3 余向量的几何表示方法

介绍一下余向量的几何表示方法，还是拿余向量  来说事吧。

提醒一下，  是在单位正交基下得到的，所以下面的几何表示方法也是在单位正交基下。

余向量表示的是一系列平行的直线，所以把这些平行的直线都画出来（为了不显得太乱，只画出单位正交基，不画出网格了）：

下面和右面标出的数字指明了是哪一根直线，比如：

上图数字6对应的就是下面这根直线：

如果有某个向量和其中一根直线相交，比如：

向量  和直线3相交，这是因为：

这样的几何表示方法可以帮助后面更好的理解和展示余向量。

2 对偶空间

2.1 余向量的线性组合

我们来定义一下余向量的：

• 数乘： 

• 加法： 

其中  是余向量。

这样定义是合理的、自洽的，用具体的值来试算一下，令：

数乘：

加法：

从几何直观来看，  对应的直线是：

而  对应的直线是：

而  对应的直线是：

可以认为这根直线是之前两根直线的线性组合。

2.2 对偶空间

向量空间定义是这样的：

设  为一向量组，如果  非空，且  对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称  为向量空间。

所谓封闭，是指在  中向量进行数乘和加减，其结果依然在  中。具体的说，就是:

• 若  ，则 

• 若  ，则 

也就是说，向量空间  是对向量的数乘和加法封闭的空间。

同样的道理，有个数乘和加法之后就可以定义对偶空间了。

对于余向量的数乘和加法封闭的空间，称为对偶空间，一般记为  （其实余向量也是向量，对偶空间也是向量空间）。

3 坐标转换

3.1 余向量的基

对于向量而言：

首先要把向量用基来表示，才能去讨论如何进行坐标转换：

所以要谈论余向量在不同坐标下的表示：

首先要定义出余向量的基。

说来也简单，定义这样一个线性函数作为余向量的基（余向量的基用的是上标，也就是说它是逆变量，这个后面再解释）：

上面用  来表示余向量的基，看着和向量的基  有点像，但是又可以区分开来。

这样的定义也不难理解，对于单位正交基下的余向量  ，它的基是：

验算一下：

可见，这样的定义是符合直觉的。之前我们的余向量也可以用基的线性组合来表示：

为了更方便记忆，引入一个函数，可见我们只需要关心  是否相等：

来看下这两个基的几何表示（标出  方便知道哪边是正、哪边是负）：

 与直线交于1，  与直线交于0，是符合之前关于余向量的基的定义的。

另外一个基：

余向量用基的线性组合来表示：

上面是用单位正交基来举的例子，后面我用代数推一下，证明余向量可以被基线性表示。

3.2 余向量的基作用在向量上

先来算一下，余向量的基和向量之间的计算结果是什么？

同理：

看来，余向量的基有把坐标的分量分离出来的作用：

这点从几何上也可以看出，比如，这个向量与  交于 1 ：

与  交于 2 :

上面这个向量确实就是：

3.3 余向量通过基来表示

把之前的余向量用符号来表示：

看看它是怎么作用到向量上的：

令：

其中，  （余向量是输入向量，输出实数的线性函数）。

并且根据刚才的结论：

所以上式可以变为：

可见余向量可以由余向量的基来线性表示：

其中：

 可以称为此基下的坐标，我这里用的是下标，大家应该就明白是协变量了，后面还会对此进行说明。

3.4 小结

停顿下，至此，得到了下面这些结论，注意，虽然上面举例子画图用的是单位正交基，但是下面的结论对所有基都成立。

余向量的基的定义：

余向量与向量之间的作用：

余向量用基来表示（用了爱因斯塔标记法，把  符号去掉了）：

其中：

4 转换规则

终于做好准备了，让我们看看在不同基下余向量应该怎么转换吧。

4.1 明确目标

用实际的例子进行说明，在这两个基下，余向量应该怎么表示：

上图中的左边的基就是单位正交基，代数形式为：

上图中的右边的基为：

两个基的转换图为：

转换矩阵具体是：

4.2 余向量的转换

根据之前我们得出的结论：

其中：

可知，余向量的坐标可以由余向量与基来决定。

根据这个结论，其实可以通过几何看出余向量是什么。比如，之前  ：

 与余向量交于 2 ，  与余向量交于 1 ，所以余向量为  。

在我们关心的另外一个基下：

 与余向量交于 3 ，  与余向量交于 -1 ，所以余向量为  。

从代数上这么求：

转回来可以这么算：

余向量的转换图为：

余向量的改变与向量的基改变是一致的，因此是协变量。

给一副动图，可以看出确实是协变量：

至此，可以用爱因斯塔标记法表示出余向量：

4.3 余向量的基的转换

向量的基和向量之间的转换是反的，可以这么想象，基变长了，那么要表示同一个点，坐标自然需要变小，来补偿这个变化。

同理，余向量的基和余向量之间的转换也是反的，余向量的基是逆变量：

5 总结

本文介绍了什么是余向量以及余向量的基，新得到两个张量：