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对于数域 K 上的 n 维线性空间 V，当给定一组基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 后，其中任意一个向量（也叫矢量） α 都对应唯一的坐标系数 (a₁, a₂, ..., a_n) 使得： 又有另外一个向量 β = b₁ε₁ b₂ε₂ ... b_nε_n，将 α 和 β 自然相乘，有： 令， 则有： 称 ω 为 二阶（秩）张量，在 V 确定一组基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n}后，对应 一个系数方阵 Z。 当然，这个定义是非常粗糙的，甚至有如下缺陷：
中任何一对之积都一样，即，
于是，得到 z_{ij} 之间的比例关系： 显然 就不满足上面的比例关系。 因此，考虑脱离乘法而用 (1) 的形式直接定义张量，但是显然不能是任意 n² 个数就可以构成张量的系数矩阵，我们需要找到规律。 我们知道，n 维度线性空间中的向量 α ，其坐标向量 (a₁, a₂, ..., a_n) 是依赖于基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，当基变为 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 (a₁', a₂', ..., a_n')。若已知，{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 到 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 过渡矩阵是 T，即： 则，有：
于是，有：
等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹，整理后得到：
以上推导说明：向量 α 的坐标向量 虽然 随着基的不同而变化，但是向量 α 从未改变，是一个不变量，即：
并且，不同基下的坐标向量之间满足(2) 。 受此启发，分析：ω 的系数矩阵 Z = (z_{ij}) 也是依赖于基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，当基变为 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 Z' = (z_{ij}')，并且有：
于是，有：
等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹，右乘 T⁻¹，整理后得到：
于是，给出二阶张量的正式定义： 与 n 维线性空间 V 有关的量 ω，在线性空间 V 的基变化时，具有不变性，满足，
并且，不同基下的系数矩阵之间满足 (3)，则称 ω 为 二阶张量。 依照以上思路我们可以定义三阶张量，这时系数矩阵就已经不够用了，于是我们只能老老实实用多项式表示，为了简化书写引入爱因斯坦和式：
在一项中同时出现两次的上下标 i 称为哑标表示该项是多项相加的缩写，只出现一次的 j 是自由标，禁止多于两次。 新设 V 中向量 γ = c₁ε₁ c₂ε₂ ... c_nε_n 有：
令 ω = αβγ，z_{ijk} = a_ib_jc_k，则有（从这里开始使用爱因斯坦和式）：
ω 就是三阶张量。 设 V 的基从{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 变换到 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 的过渡矩阵 T 以及其 转置逆阵 S 分别为：
则有：
在新基下，令 ω = z'_{ijk}ε'_iε'_jε'_k，于是有：
最终得到：
于是我们定义： 与 n 维线性空间 V 有关的量 ω，在线性空间 V 的基变化时，具有不变性，满足，
并且，不同基下分量之间满足 (4)，则称 ω 为 三阶张量。 继续延续以上思路，可以将张量扩展到任意 p 阶。 对于 和 n 维线性空间 V 相关的量 ω，在 V 的基变化时，具有不变性，满足：
并且，不同基下分量之间满足：
则称 ω 为 p 阶张量。 注意到，当 p = 1 时有：
这和向量完全一致，因此 一阶张量 就是 向量，向量就是一阶张量。 规定，当 p = 0 时为：
即， 零阶张量 就是 标量。 线性空间 V 上的函数 f: V → K，如果满足线性：
则称 f 为线性函数。定义线性函数的加法和数乘运算：
可以证明 V 上的全体线性函数构成一个新的线性空间，称为 V 的对偶空间，记为 V*。 对于 V 中给定的基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} ，如果 V* 中的一组函数 {ε¹, ε², ..., ε^n} 使得：
注：δ_{ij} 称为 Kronecker 符号。 可以证明 满足上式的 ε¹, ε², ..., ε^n 是 唯一的，并且 是V* 的一组基，称 {ε¹, ε², ..., ε^n} 是 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的对偶基。 也就是说，对于 V* 中的任意线性函数 f ，有 f = a₁ε¹ a₁ε² ... a_nε^n ，这和 V 中向量的性质完全相同。 当 V 的基变为 {ε’₁, ε'₂, ..., ε'_n} 对偶基变为 {ε'¹, ε'², ..., ε'^n} ，设， V 和 V* 中的过渡矩阵 分别为 T = (t_{ij}) 和 S = (s_{ij})，则有：
这说明 S(Tᵀ) = E 于是 S = (Tᵀ)⁻¹，S 和 T 互为转置逆阵。 同时，对于线性函数 f 又有：
于是，得到：
由此可见，V* 的坐标变换矩阵就是 V 的过渡矩阵 T。 综上可以得出：
考虑，V* 的对偶空间 V** ，定义映射： ψ: V → V**，对于 V 中任意元素 α 对应 V** 中的唯一元素 ψ(α) : V* → K，使得：
可证明 ψ 是线性同构，也就是 V ≌ V**，于是我们将 V** 和 V 当做同样的线性空间。这说明 V 和 V* 互为对偶空间，{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 和 {ε¹, ε², ..., ε^n} 互为对偶基。 既然 V* 是线性空间，我们可以仿照 V 上定义 p 阶张量，在 V** 上定义 q 阶张量： 对于 和 n 维线性空间 V 的对偶空间 V* 相关的量 ω，在 V 的基变化（V* 中的对偶基跟着变化）时，具有不变性，满足：
并且，不同对偶基下分量之间满足：
则称 ω 为 q 阶张量。 因为 V** 上的 q 阶张量的坐标变换就是 V 过渡矩阵 T 的元素相乘，而 V 上的 p 阶张量的坐标变换时 过渡矩阵 的转置逆阵 S 的元素相乘，因此称 V** 上的 q 阶张量，为 q 阶协变张量，称 V 上的 p 阶张量 为 p 阶逆变张量。 最终，将 V* 和 V 混在一起定义混合型张量： 对于 和 n 维线性空间 V 以及 其对偶空间 V* 相关的量 ω，在 V 的基变化 以及 V* 中的对偶基跟着变化 时，具有不变性，满足：
则称 ω 为 (p,q) 型混和张量，p 为逆变阶数，q 为协变阶数。 在基确定的情况下，向量 和 坐标向量 一一对应，我们可以将坐标向量当做向量；同理，在基确定的情况下，(p, q) 型混合张量 和 一组数 {z_{i₁i₂...i_pj₁j₂...j_q}} 一一对应，我们可以将 这组数 当做张量。于是有如下张量的第二种定义： 对于 n 维线性空间 V 以及对偶空间 V*，对于任意给定 的基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 指定 n^{p q} 个数 :
如果这组数在基变换时的变换，符合 (5) 的变化规律，则称这组随着基改变的数，为 (p, q) 型混合张量。 这就 G.Ricci 最初引入张量概念时所下的定义。 再进一步观察发现，在 V 基给定下，每一个 (p, q) 型混合张量，都可以用 基和对偶基的乘积组：
进行线性表示，这说明 所有的 (p, q) 型混合张量 构成一个线性空间，那么这个线性空间是什么？ 考虑：
受此启发，可以证明：(p, q) 型混合张量，就是多元线性函数 V* × ... × V* × V × ... × V → K （p 个 V*， q 个 V）。所有多元函数组成的集合记为 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K)，可以证明 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 是一个线性空间。定义，
它就是 ε_{i₁}ε_{i₂}...ε_{i_p}ε^{j₁}ε^{j₂}...ε^{j_q} 在 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 中对应的基。 注：多元线性函数的定义和 线性函数类似。 于是，就有了第三种定义张量的方法： 称 一个 多元线性函数 V* × ... × V* × V × ... × V → K （p 个 V*， q 个 V）为 (p, q) 型混合张量。 最后，回到最初，我们知道 两个 向量 α, β 的乘积 是一个二阶逆变张量，而向量就是一阶逆变张量，于是这种乘积就是张量之间的乘积，称为张量积，为了明确用 ⊗ 表示。 对于 V 中任意两向量 α, β 的 都有张量积 α ⊗ β ，令 X 是所有这些 α ⊗ β 组成的集合。一开始我们提到的 向量 α, β 的乘积的缺陷问题导致 X 不能构成线性空间，但是 X 可以生产一个线性空间，记为 V ⊗ V ，称为 V 和 V 的张量积。 以上是从张量引入了张量积，其实数学上是脱张量，直接用范畴的语言定义张量积如下： 对于K 域上的线性空间 U, V, W ，如果 双线性映射 ψ : U × V → W ， 对于 K 上的任意 线性空间 W' 以及线性映射 ψ' : U × V → W' 都存在 唯一的 线性映射 σ: W → W' 使得 ψ' = σψ 则称 (W, ψ) 为 从 U 到 V 的一个张量。 可以证明 (W, ψ) 在线性同构意义下唯一，于是令 U ⊗ V = W, u ⊗ v = ψ(u, v)。 于是，就有了张量的第四种定义： 称 张量积 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V* ⊗ ... ⊗ V* （p 个 V， q 个 V*）中的元素为 (p, q) 型混合张量。 第一种定义中的
在这里就是
就是说，第四种定义是对第一种定义的严谨化。 而 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 恰恰就是 一个 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V* ⊗ ... ⊗ V* 张量积，于是第四种定义和第三种定义保持一致。 （回答的篇幅已经很长了，所以有些非关键性的证明只能省略。另外，由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家指正。) |
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