对偶空间和伴随算子对偶空间在前边我们已经看到，如果都是赋范线性空间，那么的全体在赋予线性结构和范数之后就可以成为一个赋范线性空间，且当是Banach空间是，按照范数收敛的意义下，空间是一个Banach空间，而在所有的这种空间中，最为特殊的就是取为或者,此时我们记这个空间为,并成为的对偶空间，特别的记作 称为二次对偶空间，后边我们会看到他和有着十分紧密的联系！ [对偶空间]我们将 上的有界线性泛函的全体按照它的线性 运算及范数构成的赋范线性空间称为 的对偶空间或共轭空间, 记为 , 为了熟悉这个空间，我们再次叙述其线性结构以及拓扑结构： 对任意的: 范数： 令人感兴趣的是它的二次对偶空间，形式看上去我们就知道二次对偶空间是十分抽象的，我们甚至不清楚这里边的元素长什么样子，毕竟这个空间里的元素作用对象是有界线性泛函，且本身又具有线性结构，幸运的是，人们发现了和之间的一个非常好的关系：可以等距嵌入中，且由于是一个Banach空间，因此 性质良好，一些在中不好说清的故事，可以在中说清楚. 下边我们将具体介绍这样的嵌入:对于任意的，定义： 我们将看作是一个线性算子，那么他作用的对象就是中的元素，且它具有线性结构.我们即将说明这就是我们所需要的等距嵌入： 定理1：映射 具有下列性质: (i) 映射是线性的, 即若 则对任何实 (或复) 数 , 有 其实, 对任一 , 有 这表示 , 故 (i) 成立. (ii) 映射是等距的, 因此是单映射. 对任一 , 我们有 故 . 另一方面, 存在 , 使得 于是 故 我们将上述这个映射称为典则映射！ 事实上，我们非常希望空间里都是这样的元素，但是这样的想法往往是过于美好的，大部分情况下都是要比大的，因此我们只能做到等距嵌入，而做不到等距同构.但是在一些特殊情况下，即空间十分良好情况下，和 可以做到等距同构，此时我们称为的自反空间.下边有两个例子十分重要，因此我们将其写为了定理，但是其定理的证明需要用到R-S积分的内容，由于大多数同学没有学过抽象测度以及L-S积分因此我们跳过这两个定理的证明，当我们在谱测度中补充了关于抽象测度的知识(可能需要狠狠的补充抽象测度知识)后，我们再回头证明这些东西！下边我们仅叙述结论，并对结论做一些说明！ C[]空间对偶空间(空间 的对偶空间)设 为 上的 有界线性泛函, 则存在定义于 上的有界变差函数 , 使得对 一切 , 有 且 , 这里 表示 在 上的总变差. 反之, 对任一定义在 上的有界变差函数 式定义了 上的一个有界线性泛函 . 空间的对偶空间的对偶空间是 , 这 里 是 的相伴数, 即 .且等距同构为：. 任取 , 令 这里的等距嵌入并不是唯一的，当为复空间时，我们也会采用： 尤其是在中(因为这是一个希尔伯特空间对应的是伴随算子.) 该定理揭示了一个很重要的事情，那就是任意的$1 然后我们就自然会提出一些问题，时和无穷时会发生什么情况？事实上的对偶空间仍然是然而，的自反空间确实无法弄清楚的.因此可以看到其实并不是一个好空间. 要将一个空间的对偶空间甚至是二次对偶空间弄清楚并不是一个简单的事情，因为等距同构总是不容易找的.因此在处理这部分的题目时，我们大多数做的是验证性工作，且在中最好弄，因为她不用我们使用R-S积分. 伴随算子上边我们提到了将中的取为数域会得到对偶空间.现在我们要建立对偶空间之间的映射：.当然我们仍然讨论他们之间的有界线性算子.本节我们将建立对偶空间之间的算子：算子. 伴随算子[伴随算子/共轭算子] 设 是 空间, 算子 . 算子 称为是 的共轭算子是指: 可以看到将中的元素映入到了中成功建立起了的映射.下边我们来探究一下这个映射的性质. 定理2(i) 的伴随算子 是有界线性算子, 且 (ii) , 这里 为实 (或复) 数; (iii) , 这里 ; (iv) , 这 里 也是赋范线性空间; (v) 的伴随算子 也有伴随算子 , 我们将它简记为 . 若将 看成 的子空间,则 是 的延拓. 上边的验证过程就留给大家了，每个都不是太为复杂，更重要的是明白伴随算子的定义是怎么定义的，因为我们在Hilbert空间中还会有另一个“伴随算子”的定义，他和这里的伴随算子定义是不同的！实在不清楚的可以自行翻阅书籍，这并不是特别麻烦的事情！为了使大家熟悉伴随算子，我们举一个并不是那么复杂的例子！ 例子设 是变量 及 的实可测函数 b), 满足 设 是以 为核的积分算子: 这里 是 的相伴数. 1.证明是的有界线性算子； 2.求得具体形式. 1.关于的线性性是显然的，我们要证他的有界性以及是从到的算子！ 这是有Holder不等式得到的： 如果我们记我们就可以得到：因此这确实一个有界线性算子. 现在我们开始求： 由于 是任意的, 故 因 与 可视为同一,根据的对偶空间形式又可写成 将变量 对调, 得到 由此可见, 是以 为核的积分算子.  |
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