泛函分析的一些基本事实

有关非线性系统的许多问题均可化为解一个无穷方程组,它有同样多的未知数. 于是, 试图将线性算子泛函分析的基本概念推广到这个较广阔的情况是自然的. 这里,我们总结一下今后所需要的、来自经典泛函分析中的基本概念和结果.

本质上,我们在以后所需要的基本细节涉及到:(i)Banach空间和Hilbert空间的几何性质;(ii)Banach空间上的有界线性泛函和有界线性算子的性质;(iii)与Banach空间中紧性有关的细节;(iv)对于某些标准的Banach空间,(i)~(iii)的明显的例子.

Banach空间和Hilbert空间}

Banach空间 是一个关于度量的完备赋范向量空间. 今后, 我们将主要涉及这种空间以及几何上更简单的Hilbert空间的特殊情况. 回顾Hilbert空间, 它是一个有正定内积的向量空间. 而对于, 令, 就定义出了一个Banach空间. 因而,正如有限维情况中那样,在一个Hilbert空间中,可定义正交向量和的子集的正交补(对所有的, ). 在Banach空间中,称一个序列收敛到, 是指时. 于是, 例如是一个依范数收敛的连续函数. 定义在一个Banach空间上的半范数就是定义在上的一个非负实值泛函, 它满足形式

以及

如果中每个有界序列都有一个依收敛的子序列,则半范数关于是紧的.

Banach(Hilbert)空间的闭线性子空间仍是Banach(Hilbert)空间.对于有限个直和,类似的结果仍成立;而若是与\ 的直和,记为

然而注意: Banach空间存在闭子空间, 但不存在满足的闭子空间, 可见,一般的Banach空间的几何学相当复杂. 幸运的是, 若:(i)是一个Hilbert空间; (ii)或(iii), 则此情况就不可能出现. 事实上, 如果是Hilbert空间的任一闭子空间, 那么

假定一个赋范向量有两个范数和, 若有正常数和使得对一切有

我们则称这些范数等价. 在我们将要讨论的问题中,仔细选择等价范数常常使问题简化.

Hilbert空间良好的几何性质也许能归功于它满足所谓的平行四边形法则.  事实上, 一个Banach空间是Hilbert\ 空间当且仅当平行四边形法则成立. 即对每个, 有

正如下面的定义中的那样, 这条法则可推广到一类有用的Banach空间. 如果对一切, 以及对中范数为1且的和, 均存在一个与和无关的使得, 则称这个Banach空间为一致凸的. 这个空间具有Hilbert空间的许多有用的几何性质. 例如

设是一致凸的Banach空间的闭凸子集,且设是的一个点, 那么,距离可由一点仅由一点达到.

如果:(i)的元素也都是的元素; (ii)在中序列收敛可导出在中收敛, 那么,我们说这个Banach空间嵌入, 并记为. 这可推出存在一个绝对常数, 使得对每一个, 有 . 若在(i)和(ii)之外附加中的有界子集在中紧这一条,则称紧嵌入.

在很多分析问题中, 在很多分析问题中,考虑那些单参数Banach空间族是有用处的. 其中,参数在正整数或实数上变化,且对于, 有. 这种族被称为Banach空间scales.

如果一个度量空间具有可数稠密子集,则称之为可分的. 我们考虑的大部分具体问题中,有关的Banach空间事实上都是可分的. 可分的Banach空间的线性子空间仍可分; 由闭线性子空间所得的的商空间也如此. 任一可分的Hilbert空间均有可数直交基, 因此,所有的这种空间等距.

一些有用的Banach空间

设是中的一个区域. 以下一些具体的Banach空间在今后被证实是重要的.

(i)连续可微函数空间  设是一个非负整数, 是一个多重指标, 则

是一个Banach空间,范数是

显然,当在正整数上变化时,空间族构成一个Banach scales

不幸的是, 就分析中的许多问题而言,利用这些空间通常不方便. 例如,在位势理论中,若表示上的Laplace算子,则对任意, 区域中的简单方程不一定可解.

这个困难能由下面的定义克服.

(ii)Holder连续函数空间  设是一个正数, , 若对于,有

则称函数在在内满足指数的一个Holder条件. 集合

是范数为

的一个Banach空间. 因此,对于, 范数与是等价的. 如果注意到对于固定的,当在上变化时,空间构成一个Banach scales , 则此事实是有用的. 它解决了上述的位势理论问题. 这因为如果, 则Poisson方程总有解, 其中.

(iii)可积函数空间 设是定义在上的一个测度空间,且设是满足的一个正数, 我们记

若将仅在零测集上不相等的函数看成一样,则是范数为

的一个Banach空间. 显然,是关于内积

的一个Hilbert空间. 当

时,

是一个Banach空间. 通常,我们假定是定义在上的Lebesgue测度空间,并且我们记.

当数变化时,空间之间的关系在今后将扮演重要角色. 特别,我们要注意以下三个重要的不等式:

(a)Holder不等式 若, 且, 则 是可积的,并且

因此, 对于及 , 有

于是对, 当时,空间族构成一个Banach scales.

(b)此外, 若对于有, 则当时, , 并当时, 对是凸的. 此时.

(c)Clarkson不等式 设, 其中, 则对, 有

Clarkson不等式的一个显而易见的直接推论是:对于, 是一致凸的. 对于,也有类似的不等式, 从而对于,也是一致凸的.

(iv)具有广义导数的函数(Sobolev)空间 在很多涉及微分算子的问题中,将一个函数的导数的范数结合到一个Banach范数中会很方便. 为了实现这点, 考察类中的函数. 对于任意数以及整数, 我们取关于范数

的闭包, 所得的Banach空间称为Sobolev空间. 对于固定的, , 对于,Banach空间是一致凸的. 并且显然, 当在非负整数上变化时, 构成一个Banach scales. 进而, 对于, 是关于内积

的一个Hilbert空间. 可将空间进行修改,以便结合边界条件. 于是,在中的闭包(记作)包含这样的函数: 在的边界上, 其直至阶的导数“广义”为零. 若是一个有界域,则由Poincare基本不等式可推出:存在一个绝对常数, 使得对, 有

因此,对于中的有界域,由

给出的“短”范数等价于

所给出的范数. 反复利用不等式就不难看到这点.

利用局部坐标邻域及单位分解,则Sobolev空间可定义在Riemann流形上. 例如,空间定义为在范数

意义下的闭包. 这里,借助于局部坐标,我们有

所有这些积分均域用来定义它们的局部坐标邻域及单位分解无关.

Sobolev空间可推广到微分的“负”阶上. 若, , 且, 则取分布意义下的导数

而且,它是一个范数为

的一个Banach空间, 上确界在中范数为1的函数类上取.

在位势论中,Sobolev空间是重要的,这应归于一下性质:若任一, , 则对于方程而言,Dirichlet问题有“广义”解.

有界线性泛函和弱收敛

定义在Banach空间上的有界线性泛函是的线性映射, 该映射对于某个与无关的常数, 使得.  显然, 相对于依范数收敛而言,是连续的. 此外,上所有的有界线性泛函的集合称为的共轭空间, 记为. 对于范数, 它是一个Banach空间, 上确界在球面上取. 上的有界线性泛函记为, 其中, 而在上变化. 若, 则空间称为自反的, 并且,这种空间与Hilbert空间共同拥有许多特殊的几何性质. 特别是, 所有的一致凸空间均自反. 与有界线性泛函扩张有关的以下著名结果很重要.

定理(Hahn-Banach空间) 设是定义在Banach空间上的一个半范数,是的线性子空间,是定义在上的线性泛函,并对有, 那么可扩张成上的有界线性泛函, 满足.

该结果有以下推论:

(i)设是的闭线性子空间上的有界线性泛函,则可扩张成上的有界线性泛函, 满足.

(ii)若, 则存在范数为1的一个线性泛函, 满足. 于是, , 在单位球面上取上确界.

(iii)设是的一个非空凸开子集,且是与不交的一个线性子空间,则存在的闭的真子空间, 它包含且与不交.

此外, 对于给定的Banach空间上的一个任意线性泛函,有一个具体的表示是有用处的. 在这一点上,我们特别提到:

(i)[Riesz表示定理]    设是Hilbert空间,则对于某个, 定义在上的任以有界线性泛函都能唯一地写为.

(ii)对于以及 , . 于是,对于的这种值, 是自反的.

(iii), 是一个整数, $1<p<\infty$,且$p^{-1}+q^{-1}=1$. 于是对$m$和$p$的这种值,='' $\overset{\circ}{w}_{m,p}(\omega)$是自反的.<='' p=''>

为了讨论Banach空间中各种类型的收敛, 上的有界线性泛函非常有用. 若对每一, 有, 则序列弱收敛于一个元素. 弱收敛仅对无穷维Banach 空间是新概念. 这因为当时,弱收敛与范拓扑一致. 弱收敛有以下基本性质:

(i)弱极限存在则唯一.

(ii)在中,若强收敛于,则收敛于.

(iii)在中, 若弱收敛于, 则一致有界, 且

(iv)若弱收敛于,则有的一个凸组合强收敛于.

(v)设是一自反Banach空间,则是序列弱完备的.

(vi)在一致凸Banach空间中, 弱收敛于且可推出强收敛于.

在今后所要研究的许多非线性分析问题中, 定出弱收敛序列成为强收敛序列的具体条件很重要. 最简单而又不无价值的结果即上述的(vi).

紧性

在讨论与无穷维Banach空间有关问题时, 人们试图找到的这种子集:它们具有有限维向量空间中闭有界集的主要性质. 为此,人们称Banach空间的一个集是紧的,是指是闭的, 且使得中每一序列都包含强收敛的子列. 然后, 可类似定义弱列紧性的概念. 这方面有用的结果是:

(i)在Banach空间的一个紧集中,弱收敛与强收敛一致.

(ii)自反Banach空间中的有界集是弱列紧的.

(iii)Banach空间中紧子集的闭凸包仍是紧的.

(iv)若Banach空间中的球是紧的,则.

具有定义域Banach空间和值域Banach空间的映射称为紧的, 是指对于中的所有有界集,在中式相对紧的. 这种紧映射具有可分的值域, 这因为

由于每一集合可分,故自身可分.  我们前面引进的特殊Banach空间中,确定紧性的具体准则极其重要. 两个著名的准则是

定理(Arzela-Ascoli定理) 若有界,则的集条件紧,当且仅当在上确界范数意义下集有界,且其元素等度连续.

定理(M.Riesz-Tamarkin定理) 若有界且, 则的一个集条件紧,当且仅当:(i)在范数意义下,集有界;且(ii)在范数意义下等度连续(即当时, 对一致成立).

这两个定理的直接推论是

推论:    若是有界域,则在范数下的有界集在范数下是条件紧的,其中, 并且至少有一个不等式是严格的.

引理(Rellioch引理) 若是有界域, , , 则集合在范数下有界就会在范数下条件紧.

对于许多需要讨论的问题来说,将上述结果推广到一般的无界域上很重要.这方面的几个典型结果是:

倘若在M.Riesz-Tamarkin定理中,对于条件(i)、(ii), 我们再附加下一条: (iii)在无穷远处,是等度小的,即

则 M.Riesz-Tamarkin定理对无界区域也是正确的.

的嵌入是紧的,当且仅当时, .

有界线性算子

称定义域为而值域含在中的线性算子有界(是Banach空间), 是指存在与无关的常数,使得对所有,均有. 对于定义在上的强拓扑与弱拓扑这两者来说,这种算子都是连续的. 对于固定的和, 这种映射的集合又构成一个Banach空间,记为, 其中,范数, 对取上确界. 任一有界线性算子均有一个伴随算子, 它由唯一确定, 其中,对于每一个有界线性泛函有. 于是, 并且对两个算子,有

一个算子的预解集是使具有有界逆的所有标量的集合. 所有其他的标量构成的谱,记为. 一个数称为的本征值,是指. 非零元称为对应于本征值的一个特征向量是指. 这种本征值的集合称为的点谱. 一个有界线性算子的本征谱由这些数构成:它们不会因加上一个紧线性算子而从谱中被剔除. 转而可得出,等价于如下事实:具有闭值域和有限维核及余核,且

下面我们是一些在非线性分析中起重要作用的特殊线性算子:

Sobolev积分算子设是中的有界域,是一个正数,则由

所定义的线性算子有以下性质:

(i)对于及, 是的有界线性算子, 其中.

(ii)对于, 是的有界线性算子, 其中

Calderson-Zygmund奇异积分算子对于: 设, 其中是上的一个正函数, 使得.则对于, 线性卷积算子是的有界线性映射.

Korn-Lichtenstein定理若是具有上面Calderson-Zygmund奇异积分算子中所描述的性质的函数, ()具有紧支集,则对于,卷积是的有界线性映射.

今后我们也会用到关于一般有界线性算子性质的以下基本结果:

(i)关于逆算子 Banach定理假定既是单射的又是满射的, 那么有一个有界线性逆

Lax-Milgram引理若是一个Hilbert空间,且是这样的:对于所有, 存在绝对常数使 , 则有一个有界逆,且.

若,则有一个有界逆当且仅当有一个有界逆; 且此时.

(ii)线性算子的映射性质

开映射定理倘若算子是满射的,那么映的开集为的开集.

闭值域定理假定, 是单射并有闭值域,那么的值域是. 此外,任一算子有闭值域当且仅当存在绝对常数,使得

其中,表示的零空间.

一致有界定理若, 且对每一, 存在, 则一致有界,且存在有界算子, 使得对所有有.

(iii)投影算子和嵌入算子

投影算子算子称为一个投影, 是指; 又若与分别表示与的值域,则

反之,若

其中 或是有限维的,且, 则映射是一个投影.

嵌入算子若Banach空间被嵌入Banach空间中,则由定义的线性映射就称为嵌入算子. 因, 算子是连续的,故. 此外,若紧嵌入中,则算子 也是紧的.

以下结果指出怎样从嵌入算子的性质导出新的不等式.

Lions引理设是满足嵌入关系的3个Banach空间,假定嵌入是紧的, 则任给, 存在, 使得对一切, 均有

证明:    假定不等式不成立. 于是,在中存在序列使

令

我们得到

根据嵌入的性质,存在的子序列, 我们仍记之为, 使在与中均强收敛于. 另一方面,利用

, 我们必有,和同时成立. 矛盾.

特殊类型的有界线性算子

(i)紧线性算子线性算子称为紧的,是指对任一有界集, 在中都是条件紧的. 值域有限维的有界线性映射必是紧的.反之,若是Hilbert空间,则紧线性映射是这种映射的一致极限. 紧线性算子的理论已经高度发展.其主要结果可归纳如下:

设是紧的,且令, 则:(a)具有闭值域; (b); (c)存在有限整数,使, 且是从到自身的一个线性同胚; (d)的谱由本征值的一个可数集构成,这些本征值都是孤立的和有限重的,零可能除外.

紧线性算子将中的弱收敛序列映为中的强收敛序列(即必然是全连续算子). 反之,若是Hilbert空间,则任何全连续线性算子都是紧的.

定义在中的紧算子集合有以下性质:

在的一致算子拓扑意义下,集合是闭的. 此外,当且仅当. 集合在赋范环中是闭双边理想.

一般来说,若的值域中的函数比中的函数“更光滑”, 则称有界线性算子在函数空间与之间是紧的. 例如,

Sobolev积分算子定义为

其中是中的有界域, 则作为从到或到的线性算子是紧的.

倘若是有界域, 并且(其中,至少有一个不等式是严格的), 则嵌入算子是紧的.

倘若有界, 则嵌入算子是紧的.

倘若有界域的边界充分正则,则对于嵌入,此结果也成立.

\textbf{(ii)Fredholm算子极其推广} 算子称为Fredholm算子,是指:(a)的值域在中是闭的; (b)子空间与都是有限维的. 含在中的Fredholm映射的集合记为, 可证是的开子集.  Fredholm映射的指标 可由以下两式之一来定义:

并且可证,在紧扰动下,以及在范数充分小的的元素扰动下,指标不变. 于是,在的连通分支上,指标是常数. 此外,若且, 则且

指标的Fredholm映射的子集记为.

恒等算子的紧扰动是零指标的Fredholm算子. 反之,任一Fredholm映射与恒等算子的紧扰动仅相差中的一个线性同胚. 考虑向前和向后的移位算子, 可构造出任一可分Hilbert空间上的任意指标的Fredholm映射的例子.

对Fredholm算子的概念作以下推广很有益:要求具有闭值域,但又允许. 这种算子称为半Fredholm算子,记为. 而且,这种算子可描述为

是半Fredholm算子,当且仅当存在关于的紧半范, 使得对一切, 均有

其中, 是正绝对常数.

于是,是Freholm算子当且仅当对于及其伴随算子,上述结果均成立.

Fredholm算子和半Freholm算子的基本性质是:

(i)若对, , 则存在范数任意小(但非零)并有限秩的紧线性映射的紧线性映射, 使得

其中,是满射,且.

(ii)若, 则存在的闭线性子空间和的闭线性子空间以及算子, 使得:

(1)若表示到的限制,是到上的投影, 则是可逆的, 且是模紧算子的双边逆;

(2); 而事实上

(3)是到上的投影,是到上的投影.

(iii)对于, 是上半连续的,此即意指: 若充分小,则

(iv)若是Hilbert空间,且, 则线性方程可解当且仅当与正交.

(iii)定义在Hilbert空间上的自伴算子算子称为自伴的,是指对每个,都有

自Hilbert奠基性的研究以来,这种算子的结构已被深入研究过. 以下结果在今后有用:

双线性与自伴算子若是一个有界对称双线性泛函, 则存在唯一的自伴算子, 使得. 紧当且仅当关于弱收敛连续(对和).

自伴算子的谱

(i)自伴算子的谱包含在实轴的区间中,其中,, 下确界在上取,并且, 上确界在上取. 此外,数, 且

(ii)对于自伴算子,数当且仅当存在正绝对常数, 使得对所有,有. 此外,自伴算子的本质谱由的那些不是有限重本征值的数组成.

(iii)若是自伴紧算子,则由至多可数无穷多个实本征值组成. 这个集合是离散的,但在处可能除外.此外,的重数,且

其中,是本征向量的一个正交序列,而重复次.

(iv)自伴紧算子的本征值可用极小极大原理来刻画. 特别,若正本征值按递减顺序排列, 则

其中, 表示任一余维数为的的线性子空间. 或

其中,表示的任一维线性子空间.

(v)自伴算子的重数有限的孤立本征值在“解析扰动”下具有稳定性(即充分小且自伴,). 事实上,当充分小且, 其中选取的与使不含的其他谱值时,存在个收敛的实幂级数

使得在中的谱由对应于正交本征向量的本征值构成.

(vi)正自伴算子的(即具有)有唯一的正自伴平方根, 使得

投影算子设是的一个闭子空间. 若的元素记为, 则线性映射称为在上的正交投影.

(i)任一正交投影映射在的闭子空间上都是自伴的, 而, , . 反之,任一使的自伴算子是从到上的正交投影.

(ii)从到上的正交投影算子是紧的,当且仅当.

关于Laplace-Beltrami算子的注有界自伴线性算子的性质非常重要. 这因为它们将在与适当的Hilbert空间结构有关的几何及数学物理问题中到处出现. Laplace-Beltrami算子是作用在光滑函数上的算子. 这些光滑函数定义在紧Riemann流形上,在局部坐标中可由公式

给出,其中,. 由(并且分部积分)

可扩张成将映入自身的一个有界自伴线性算子. 事实上,由Cauchy-Schwartz不等式,对每个及某个绝对常数, 有

于是,是一个有界双线性泛函. 因此,存在将映入自身的唯一有界自伴算子使得

对形如

的任一形式自伴微分算子,类似列论成立(其中,是有界可测函数). 这种算子定义在一个有界域上,同时,在的边界上附有适当的边界条件. 对于最简单的情况,即对于所谓的Dirichlet边界条件, , 当时,我们令

上式右端等式来源于多次分部积分. 如上,存在唯一的自伴算子, 使得