【原】Hilbert 共轭算子 | 17.1习题

设均为 Hilbert 空间，，证明 Hilbert 共轭算子的基本性质：

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(1) 对于任意的和，我们有：

由内积的唯一性，得。

(2) 对于任意的和，我们有：

因此，。

(3) 对于任意的和，我们有：

因此。

(4) 当时，我们有：

因此，。

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设是是有界数列，定义线性算子如下：

（1）证明是有界算子，且

（2）求T的 Hilbert 共轭算子。

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首先证明是有界算子。对于任意，有

因此，。

另一方面，对于任意，取，其中第项为1，其余项为0，则有，且

因此，。

综上所述，，即是有界算子。

（2） 对于任意的，我们有：

因此，，即的作用是将中的元素映射为。

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第二大题第二小问的详细说明

为了求的Hilbert共轭算子，需要先确定的定义域和值域。由于，因此的定义域和值域都是。

对于任意，是满足以下条件的：

其中表示中的内积。

对于任意，有

因此，。

综上所述，的Hilbert共轭算子是将映射为的线性算子。

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Hilbert共轭算子是一个线性算子，它将一个希尔伯特空间中的线性算子映射为另一个希尔伯特空间中的线性算子。Hilbert共轭算子的定义如下：

设是一个希尔伯特空间，是上的线性算子，那么的Hilbert共轭算子是这样一个线性算子：对于任意，都有。

换句话说，是满足的线性算子，其中表示内积。特别地，如果是有限维希尔伯特空间，那么就是的伴随矩阵。

Hilbert共轭算子的性质：

1. ，其中和是上的线性算子。

2. ，其中和是上的线性算子。

3. ，其中是上的线性算子。

4. 如果是一个有限维线性算子，那么就是的伴随矩阵。