一.分析学在20世纪之前的状况分析学领域中的各个数学分支的基本理论大多在19世纪就已经初步形成，其中就包括了数学分析（高等微积分）、复变函数论、变分法和微分方程等理论。分析学的基础是经典的微积分理论。17世纪主要由Newton（牛顿）和Leibniz（莱布尼兹）创造的微积分是人类思想史上最为绚丽多彩的伟大成就，它支撑起了现代数学和科学技术的宏伟大厦。在18世纪，Taylor（泰勒）、Maclaurin（麦克劳林）、Bernoulli（贝努力）、l’Hospital（洛必达）等数学家进一步完善了微积分的理论。 在18世纪的下半叶，d’Alembert（达朗贝尔）、Lagrange（拉格朗日）和Euler（欧拉）等数学家开始研究双曲型偏微分方程（弦振动方程） ，并且从中产生了“一个任意函数能否表示成三角级数的和”的基本问题： 这个重要问题在19世纪初被Fourier（傅里叶）肯定地加以解决，因此上述这个三角级数在现代就称为傅里叶级数，其中的 当然，Fourier（傅里叶）没有证明上述傅里叶级数一定收敛到 ，在历史上是Cauchy（柯西）首先注意到必须证明所有级数（包括函数项级数）的收敛性。Cauchy（柯西）首次定义了数列与函数的“极限”概念，这样级数的收敛就意味着级数的部分和趋向于一个固定的数值。在1829年，Dirichlet（狄利克雷）证明了傅里叶级数的收敛性。 Cauchy（柯西）不仅定义了“极限”，他还定义了“连续”、“可微”和“（连续函数意义下的）可积”等最基本的分析学概念，并且证明了连续函数一定（在连续函数意义下）可积。后来在19世纪中叶，Riemann（黎曼）进一步给出了“黎曼积分”的基本概念，使得可积分的函数扩大到了不连续的函数。Weierstrass（魏尔斯特拉斯）也是一位分析严密化的先驱，他提出了有关函数极限的 定义，由此完善了整个微积分和分析理论的逻辑基础。 另一方面，Cauchy（柯西）也将微积分理论推广到了复变函数，引入了解析函数的基本概念。解析函数也称为全纯函数，它具有很好的性质，例如Riemann（黎曼）在1851年给出了全纯函数所满足的Cauchy-Riemann方程。而对于全纯函数的复积分，Cauchy（柯西）在1825年就证明了著名的柯西积分定理——全纯函数在单连通区域边界上的复积分总是为零，由此便得到了关于复积分和留数计算的一系列基本结果。Cauchy（柯西）还证明了：若复变函数 在 处为全纯，则在该点的邻域内，有幂级数展开式 而Riemann（黎曼）在研究多值复变函数时，引入了著名的黎曼面的概念（这个重要概念在20世纪进一步发展成了微分流形和复流形的概念）。到了19世纪的后期，Weierstrass（魏尔斯特拉斯）从复变函数的幂级数理论出发，提出了解析延拓（或解析开拓）的基本概念，并且开始对两个以上复变量的全纯函数进行研究。 二.分析学在20世纪中的大发展在19世纪的后期，在考察和研究傅里叶级数收敛性的过程中，Cantor（康托）创立了现代数学的基础理论——集合论。这个基本理论给分析学带来了革命性的变化。在20世纪初，Lebegue（勒贝格）发表了关于Lebegue测度和Lebegue积分的新理论，Lebegue积分是对黎曼积分的极大推广，这种新积分使得傅里叶级数的研究取得重大的突破，产生了傅里叶分析这个新的分支学科。 在微分学求函数极值的基础上，19世纪的的数学家们还找到了使泛函取到极值的方法——变分法，变分法是现代物理学中重要的数学方法。由于在研究泛函关于函数的连续性和可微性时，需要把函数作为函数空间中的“点”，并且在积分方程的研究中也需要引入函数空间，于是就产生了一个名称为泛函分析的新分支学科，其中运用了线性代数与点集拓扑的方法，来处理以函数作为元素的函数空间。实际上，泛函分析的起源可以追溯到Volterra（沃尔泰拉）在1887年的重要工作，那时他就提出了算子这个重要概念，算子将函数变成函数。如果算子的值域是数域，那么算子就成为了泛函。Volterra（沃尔泰拉）与Fredholm（弗雷德霍姆）在研究积分方程时，提炼出了泛函分析的基本思想。 在20世纪初，Hilbert（希尔伯特）在研究具有对称核的Fredholm型积分方程的特征值问题时，引入了函数空间 与 。然后在此基础上，Hilbert（希尔伯特）研究了希尔伯特空间上的连续算子，他的一个重要发现是连续谱。von Neumann（冯·诺伊曼）随后建立了抽象希尔伯特空间的谱理论，在1929年，von Neumann（冯·诺伊曼）证明了一个十分重要的定理：希尔伯特空间中的闭线性算子有实谱分解的充要条件是是自共轭算子，这个结果为量子力学奠定了必要的数学基础。接着在1932年，Banach（巴拿赫）引进了比希尔伯特空间范围更广的巴拿赫空间的概念，他证明了一系列关于巴拿赫空间中闭线性算子的基本定理，其中包括开映射定理、闭图象定理和一致有界定理等。以后，巴拿赫空间又被推广为拓扑线性空间。 巴拿赫代数在1936年被引进，Gel’fand（盖尔范德）在这方面的基础工作，使得巴拿赫代数后来成为在研究局部紧群的线性表示理论时的重要工具。 同样在1936年，Sobolev（索伯列夫）通过运用微积分中的分部积分公式，给出了函数概念和导数概念的一种推广，这个推广在1945年被L. Schwartz（施瓦兹）进一步发展成了广义函数的理论。广义函数是定义在函数空间上的连续线性泛函，它给出了物理学家Dirac（狄拉克）的 -函数的一个合理的解释。L. Schwartz（施瓦兹）在创立广义函数理论的过程中，充分运用了拓扑线性空间的理论。 偏微分方程理论在现代数学和科学技术中具有很重要的作用，它是联系一些数学分支学科和自然科学的各个学科之间的一个桥梁。在20世纪30年代前，偏微分方程主要研究一些数学物理方程经典解的求法。从30年代起，各种泛函分析的方法被用于偏微分方程的研究，人们致力于寻求偏微分方程的广义解，广义函数理论极大地推动了偏微分方程现代理论的发展。到了60年代，数学家们又将微分算子发展成了拟微分算子，后来进一步发展成微局部分析方法。 在线性偏微分方程理论发展的同时，对各种非线性偏微分方程的研究也获得了许多进展，为此人们不断发展出各种各样的方法来解决大量复杂的非线性问题。 20世纪的常微分方程理论的研究主要有三个方面：解析理论（例如用常微分方程来描写自守函数），定性理论（后来发展成为动力系统理论）、以及各种常微分方程应用的研究。 关于复分析，数学家们在19世纪所建立的一元复变函数的理论中，已经包括了黎曼面（或黎曼曲面）理论和椭圆函数理论，这些理论对后来的数论与代数几何的发展影响很大。在20世纪，值分布理论、拟共形映射、Teichmüller空间等重要理论的研究都取得了很大的进展。 在20世纪初，人们开始研究多复变函数论，初期的工作是将单复变函数的结论推广到具有任意多个自变量的情形。然而数学家们很快发现多元复变函数与一元复变函数有着本质的区别，由于多复变函数非常复杂，所以就用到了微分几何、代数几何、拓扑学、微分方程等领域中的许多理论与方法。例如对于全纯域的问题，由H. Cartan（H. 嘉当）和Serre（塞尔）等人通过运用了层的上同调方法而得到解决，这个重要工作还被进一步推广到了解析空间和代数几何中。 另一方面，经过Weyl（外尔）、Hodge（霍奇）、Kodaira（小平邦彦）和Hirzebruch（希策布鲁赫）等人的努力，将经典的黎曼面理论推广到了高维的情形，由此产生了关于复流形与复几何的宏大理论。 三.20世纪分析学领域中的各个分支学科在20世纪分析学领域中，所形成的各个分支学科（或方向）有： 1．实分析 微分学、测度论、积分理论、不变测度、长度和面积、分形、级数与渐近级数、多项式逼近、正交函数系、傅里叶级数、傅里叶变换、小波、调和分析、殆周期函数、Laplace变换、积分变换、位势论、调和函数、狄利克雷问题、变分法、Plateau（普拉托）问题、凸分析。 2．泛函分析 希尔伯特空间、巴拿赫空间、有序线性空间、拓扑线性空间、函数空间、广义函数、向量值积分、线性算子、紧算子与核型算子、插值空间、算子的谱分析、算子不等式、线性算子的摄动、算子半群和发展方程、巴拿赫代数、C﹡-代数、函数代数、冯·诺伊曼代数、非线性泛函分析。 3．微分方程 常微分方程的初值问题和边值问题、线性常微分方程、线性常微分方程的局部理论、线性常微分方程的整体理论、非线性常微分方程的局部理论、非线性常微分方程的整体理论、Painlevé方程、非线性振动、非线性问题、常微分方程解的稳定性、积分不变量、差分方程、泛函微分方程、动力系统、低维动力系统、双曲动力系统、保守动力系统、动力系统中的分歧、全微分方程、偏微分方程及其解法、亚椭圆性与可解性、偏微分方程的初值问题、复数域中的偏微分方程、一阶偏微分方程、Monge-Ampère方程、椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、混合型偏微分方程、偏微分方程理论中的不等式、Green函数与Green算子、积分方程、积分微分方程、特殊微分方程、微局部分析与拟微分算子、特殊函数、椭圆函数。 4．复分析 全纯函数与幂级数、全纯函数族、全纯函数最大值原理、解析函数边界性质、单叶函数、值分布理论、复逼近论、黎曼面、黎曼面上的分析、复动力系统、共形映射、拟共形映射、Teichmüller空间、Klein群、多变量解析函数、解析空间、 方程、全纯映射、多重下调和函数、CR-流形、核函数、Siegel区域、周期积分。 四. 20世纪上半叶分析学发展过程中的大事记下面按照年份的顺序，记录了在20世纪的上半叶，关于分析学发展过程中的一些重要事件。
图1：Courant（柯朗）与Hilbert（希尔伯特）写的《数学物理方法I》中译本，科学出版社，2011年
图2：Banach（巴拿赫）写的《线性算子理论》中译本，科学出版社，2011年
图3：Courant（柯朗）与Hilbert（希尔伯特）写的《数学物理方法II》中译本，科学出版社，2012年
图4：L. Schwartz（施瓦兹）写的《广义函数论》中译本，高等教育出版社，2010年 五.分析学阅读书目（一）实分析1．《数学分析（上、下）》（第二版），华东师范大学数学系，高等教育出版社，1991年。
图5：华东师范大学数学系编写的《数学分析（上）》 2．《微积分（上、下）》，迈克尔·斯皮瓦克（M. Spivak），高等教育出版社，1981年。
图6：迈克尔·斯皮瓦克（M. Spivak）写的《微积分（下）》中译本 3．《Understanding Analysis》，S. Abbott，世界图书出版公司北京公司，2008年。
图7：S. Abbott写的《Understanding Analysis》 4．《重温微积分》，齐民友，高等教育出版社，2004年。
图8：齐民友写的《重温微积分》 5．《从大学数学走向现代数学》，徐宗本主编，科学出版社，2007年。
图9：徐宗本主编的《从大学数学走向现代数学》 6，《近代分析数学概要》，陈景良，清华大学出版社，1987年。
图10：陈景良写的《近代分析数学概要》 7．《Fourier Analysis and Its Applications》，A. Vretblad，科学出版社，2011年。
图11：A. Vretblad写的《Fourier Analysis and Its Applications》 8．《傅里叶分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2020年。
图12：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《傅里叶分析》中译本 9，《实变函数与泛函分析基础》（第四版），程其襄等，高等教育出版社，2019年。
图13：程其襄等人写的《实变函数与泛函分析基础》（第四版） 10．《实分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2017年。
图14：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《实分析》中译本 11．《Postmodern Analysis》，J. Jost，Springer，1998年。
图15：J. Jost写的《Postmodern Analysis》 12．《分析学》（第二版），E. H. Lieb、M. Loss，高等教育出版社，2006年。
图16：E. H. Lieb与M. Loss写的《分析学》（第二版）中译本 13．《Real Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015年。
图17：B. Simon写的《Real Analysis》 14．《Harmonic Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015年。
图18：B. Simon写的《Harmonic Analysis》 15，《古今数学思想（第二、三、四册）》，莫里斯·克莱因（MorrisKline），上海科学技术出版社，2002年。
图19：莫里斯·克莱因（Morris Kline）写的《古今数学思想（第四册）》中译本 （二）泛函分析 16．《泛函分析讲义（上册）》（第二版），张恭庆、林源渠，北京大学出版社，2021年。
图20：张恭庆、林源渠写的《泛函分析讲义（上册）》（第二版） 17，《泛函分析》（第二版），W.Rudin，机械工业出版社，2020年。
图21：W. Rudin写的《泛函分析》（第二版）中译本 18．《Functional Analysis》，P. D. Lax，高等教育出版社，2007年。
图22：P. D. Lax写的《Functional Analysis》 19．《Introduction to Hilbert Spaceswith Applications》（第三版），L.Debnath、P. Mikusiński，世界图书出版公司，2012年。
图23：L. Debnath与P. Mikusiński写的《Introduction to Hilbert Spaceswith Applications》（第三版） 20，《泛函分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2019年。
图24：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《泛函分析》中译本 21．《Operator Theory》，B. Simon，American Mathematical Society，2015年。
图25：B. Simon写的《Operator Theory》 22．《Mathematical Analysis during the20th century》，J.-P. Pier，Oxford University Press，2001年。
图26：J.-P. Pier写的《Mathematical Analysis during the 20th century》 23．《泛函分析史》，J. 迪厄多内，高等教育出版社，2016年。
图27：J. 迪厄多内写的《泛函分析史》中译本 （三）微分方程 24，《常微分方程》，中山大学数学力学系常微分方程组，人民教育出版社，1978年。
图28：中山大学数学力学系常微分方程组编写的《常微分方程》 25．《Differential Equations：Theory，Technique，and Practice》，G. F. Simmons、S. G. Krantz，清华大学出版社，2009年。
图29：G. F. Simmons与S. G. Krantz写的《Differential Equations：Theory，Technique，and Practice》 26．《An Introduction to DynamicalSystems》（第二版），R. C.Robinson，高等教育出版社，2017年。
图30：R. C.Robinson写的《AnIntroduction to Dynamical Systems》（第二版） 27．《偏微分方程》，H. Levine，高等教育出版社，2007年。
图31：H. Levine写的《偏微分方程》中译本 28，《基础偏微分方程》，D.Bleecker、G. Csordas，高等教育出版社，2006年。
图32：D. Bleecker与G. Csordas写的《基础偏微分方程》中译本 29．《数学物理中的偏微分方程》，T. Myint-U，上海科学技术出版社，1983年。
图33：T. Myint-U写的《数学物理中的偏微分方程》中译本 30．《Partial Differential Equations》（第二版），N. H. Asmar，机械工业出版社，2012年。
图34：N. H. Asmar写的《Partial Differential Equations》（第二版） 31．《偏微分方程》（第四版），F. 约翰（Fritz John），科学出版社，1986年。
图35：F. 约翰（Fritz John）写的《偏微分方程》（第四版）中译本 32．《An Introduction to Partial Differential Equations》（第二版），M. Renardy、R. C. Rogers，科学出版社，2011年。
图36：M. Renardy与R. C. Rogers写的《An Introduction to Partial Differential Equations》（第二版） 33．《Partial Differential Equations I、II、III》（第二版），M. E. Taylor，世界图书出版公司，2014年。
图37：M. E. Taylor写的《Partial Differential Equations I》（第二版） 34．《偏微分方程现代理论引论》，崔尚斌，科学出版社，2016年。
图38：崔尚斌写的《偏微分方程现代理论引论》 （四）复分析 35．《复变函数》（第四版），余家荣，高等教育出版社，2007年。
图39：余家荣写的《复变函数》（第四版） 36．《An Introduction to Complex Analysis and Geometry》，J. P. D’Angelo，高等教育出版社，2017年。
图40：J. P. D’Angelo写的《An Introduction to Complex Analysis and Geometry》 37．《复分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2017年。
图41：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《复分析》中译本 38，《复分析》（第三版），阿尔福斯（Ahlfors），机械工业出版社，2022年。
图42：阿尔福斯（Ahlfors）写的《复分析》（第三版）中译本 39．《复分析导引》，李忠，北京大学出版社，2004年。
图43：李忠写的《复分析导引》 40．《A Course in Complex Analysis and Riemann Surfaces》，W. Schlag，高等教育出版社，2022年。
图44：W. Schlag写的《A Course in Complex Analysis and Riemann Surfaces》 41．《Basic Complex Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015年。
图45：B. Simon写的《Basic Complex Analysis》 42．《Advanced Complex Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015年。
图46：B. Simon写的《Advanced Complex Analysis》 43．《多复变函数论基础》，史济怀，高等教育出版社，2014年。
图47：史济怀写的《多复变函数论基础》 44，《多复变函数论》，萧荫堂、陈志华、钟家庆，高等教育出版社，2013年。
图48：萧荫堂、陈志华、钟家庆写的《多复变函数论》 文稿|陈跃 编辑|朱善军 |
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