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里斯 冯长彬 (赣南师范学院) 里斯，F．(Riesz，Fredéric)1880年1月22日生于匈牙利杰尔；1956年2月28日卒于布达佩斯．数学． 里斯的父亲依格内兹(Ignacz)是一名物理学家；弟弟马塞尔(Marcel)是知名的数学家．里斯年轻时曾先后在苏黎世的综合工艺学校及布达佩斯、格丁根上过学，最后在布达佩斯大学获博士学位．更进一步在巴黎、格丁根及匈牙利的教育学校(Teaching Sc-hool)研读后，1911年他被委派在科洛斯堡(kolozsvar)大学工作．该校1920年被迁往塞格德．同年，里斯与A．哈尔(Haar)合作，在那里创办了雅诺什·波尔约(János Bolyai)数学研究所及《数学科学学报》(Acta Scientiarum Mathematicarum)．他于1936年当选为匈牙利科学院院士，1946年起担任布达佩斯大学数学教授，在该校长病10年之后逝世．他曾于1949年和1953年两度获得科舒特奖金．他还是法国科学院的通讯院士和许多科学协会的会员． 里斯是D．希尔伯特(Hilbert)对积分方程所作工作的直接继承者之一，也是泛函分析的创始人之一．他对泛函分析的早期工作正是想为积分方程提供一种抽象的理论．他对泛函分析的重大贡献比较集中在Lp空间，即p方勒贝格可积函数空间．他为巴拿赫空间提供了广阔的研究领域，还将泛函分析应用于遍历理论．希尔伯特曾讨论形如 的积分方程，其中f和k连续．1907年，里斯在“关于正交函数系”(Sur les systèmes orthogonaux de fonctions)一文中引进了平方是勒贝格可积的函数，并想把上述方程中f连续的条件放宽为f平方可积．他得出如下定理：设｛φi(x)｝为[a，b]上勒贝格可积且平方可积的正交函数集， 这里，函数f实际上也是勒贝格平方可积的；而且在｛φi｝完备的情况下，只要视几乎处处相等的两函数为同一，这样的f还是唯一的．由于此定理在同一年中还被科伦大学的E．菲舍尔(Fischer)获得，故常被称为里斯-菲舍尔定理．它作为帕斯瓦尔(Parseval)定理之逆，立即引起了数学家们的广泛兴趣．定理蕴含ai(i=1，2， 3，…)为f的以φi为项的傅里叶(Fourier)展开式的系数．它通过一平方可积的完备标准正交函数列｛φi｝ L2建立了L2及l2间的一一对应．即若f∈L2，则f关于｛φi｝的展开式的傅里叶系数列是l2的一个元｛ai｝；反之，对任一｛ai｝∈l2，存在唯一的函数(允许差一个积分为零的函数)f∈L2｛ai｝为它关于｛φi｝的傅里叶系数列，也即满足(2)．在里斯1907年的论文中还提出了所谓“矩量问题”，即｛φi｝ L2及｛ai｝∈l2给定后如何确定f的问题．里斯又证明，只要f平方勒贝格可积，则积分方程(1)可解，而且除了一个勒贝格积分为零的函数外，解是唯一的． 1910年，里斯在《数学年鉴》(Mathematische Annalen)中撰文“关于可积函数系的研究”(Untersuchungen über systeme inte- grierbarer Fnnktionen)，推广矩量问题．由于推广过程中他用到了一些不等式，如有名的赫尔德(H lder)不等式 定理是：若函数h(x)与Lp中任一函数f(x)之积f(x)·h(x)都勒贝格可积，则h(x)属于Lp；反之，Lp中任一函数与Lp中任一 还引入了函数序列｛fn ｝Lp强收敛和弱收敛的概念． 里斯在泛函分析中最有名的结果是大家熟知的里斯表示定理． 1907年，M．R．弗雷歇(Fréchet)推广J．阿达玛(Had-amard)的一个结果，证明(用后来普遍采用的记号如L2，Lp等)：对于定义在L2上的每一个连续线性泛函U，存在L2中唯一的一个u(x)使得对L2中的每个f都有 1909年里斯推广了这个结果[3]，用斯蒂尔杰斯(Stieltjes)积分表示U(f)，即 并把结果推广到满足下述条件的线性泛函A： 其中M只依赖于A，即对Lp上满足上述条件的线性泛函A，必存在Lp中一个函数a(x)(在允许相差一个积分为零的函数的意义下还是唯一的)，使对Lp中所有的f有 这就是里斯表示定理(Riesz representation theorem)．对C[0，1]上的线性连续泛函的里斯表示定理是：对C[0，1]上的任一线性连续泛函A，必有[0，1]上有界变差函数a(x)使 里斯对泛函分析的另一重大贡献是引入抽象的算子概念．他在1910年的论文中，把积分方程 的理论推广到已知的f和未知的φ都属于Lp的情形，并把表达式 设想为作用在φ(t)上的变换．他称之为泛函变换，记为T(φ(t))．变换或算子可以把函数从一个空间变到同一空间或另一空间．他考虑了从空间Lp到自身的算子的线性和有界性．若存在常数M使Lp中所有满足 的函数f都有 就说算子T是有界的．后来这种M的最小上界就称为T的范数(norm)，记为||T||．利用范数作为研究抽象空间的另一种方法也是里斯开始的，后来为S．巴拿赫(Banach)等所发展． 里斯还引进了伴随算子及逆算子的概念，考虑过伴随算子的逆算子，还借助于伴随算子证明逆算子的存在性． 为了处理积分方程的特征值问题，里斯对抽象算子引入了希尔伯特的全连续概念，还研究了算子的特征值和谱． 里斯的大量工作都用到勒贝格积分．早在1920年他便用“构造的方式”从简单函数(实际上是阶梯函数)到一般的函数类重述了勒贝格积分，除用到零测集概念外不依赖于一般的测度理论．他还重新证明了一些勒贝格理论的基本定理． 里斯继续希尔伯特的工作，进一步研究积分方程与无穷矩阵的紧密相关性．在1913年发表的“含无穷个未知数的线性方程组”(Les systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues)一文中，里斯不仅将结果系统化成后来人们熟知的一般理论，而且将之应用于双线性、二次型、三角级数及某些微分与积分方程类． 里斯还开创了次调和函数理论的研究．他对此建立的一套系统理论中包括了在函数论和位势论中的应用．里斯对半序向量空间理论的研究也十分引人注目．他的一些早期工作还涉及射影几何、点集拓扑(如连续性定义及序型的分类)、复变函数与逼近论． 里斯同时也是著名的教育家，他培养了许多优秀的数学家．1952年他与他的学生B．S．纳吉(Nagy)合编的《泛函分析讲义》[6]法文版问世．这是一部很有特色的泛函分析入门书，先后被译成英文、德文，中译本分两卷分别于1963年、1980年出版． |
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