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泛函是一门具有抽象与内容丰富特性的学科，泛函研究内容主要无穷维空间上的算子及其性质，所以我们关注点就要放到空间和算子上去。 空间主要有度量空间，Banach空间，Hilbert空间。算子主要有有界线性算子和共轭算子，当然还有自共轭算子，投影算子，正算子，酉算子（Hlibert空间）等，算子和泛函的不同只是在于映射结果是空间还是数域的问题。注意点：想要研究算子，首先要确定好空间。 泛函较抽象的地方莫过于共轭算子和自共轭算子。共轭算子可以看成由共轭空间和有界线性算子算子两部分构成的，共轭空间是有界线性泛函全体构成的集合，对于Banach空间和Hilbert空间共轭算子表示形式可能有所差异，不过其实质不尽相同，可以近似理解为矩阵的共轭对称。Hilbert空间的算子相对较多，主要就是因为它的特性好，生活中应用广泛。它之所以有自共轭算子，主要在于内积的特性，这是Banach空间做不到的。 |
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