【原】有界线性算子空间 | (14.1 作业)

设是一个赋范线性空间，是一有界线性算子，并且（零算子）。如果，则有。

解法一

由于是一个有界线性算子，因此是有限的。同时，我们有

因为，所以，因此两边同除以，得

但是，由于，所以，因此

即。

另一方面，因为，所以存在使得。于是我们有

两边同除以，得到。因此，结论成立。

---

解法二

由于是一个有界线性算子，因此。又由于，我们有

对于任意的成立。由于，因此存在一个非零向量使得。我们可以令，则有且。因此，

这证明了。

---

取定一有界数列, 即.定义算子如下：

证明：.

(提示: 先证,  再证对每个取定的,

---

首先证明。对于任意，有

因此，。

接下来证明对每个取定的，。取，其中是第项为1其余项都为0的数列, 则。则有

因此，。

综上所述，。

---

设上的线性泛函定义为:, 求

我们需要求解。根据线性泛函的定义，我们有

因此，。另一方面，当时，有且

因此，。综上，我们得到。

有界线性算子是函数空间中的一个基本概念，它具有很多重要的性质和应用。例如，有界线性算子可以用来描述矩阵、微分算子和积分算子等，它们在数学分析和物理学中都有广泛的应用。此外，有界线性算子还是一些重要定理的基础，如开放映射定理、闭图像定理和谱定理等。

需要注意的是，一个线性算子不一定是有界的，例如，无界线性算子在量子力学中有重要应用。因此，有界线性算子是一个特殊的线性算子。