空间变换及其应用(二)

上篇复习了空间，映射和变换的概念。接下来介绍几种图像处理中常见的仿射，双线性，透视。下面仅讨论二维的情况。

 

仿射(affine)

       仿射变换是一个线性变换，变换后保持图形的平直性（直线还是直线），平行性(平行线变换后还是平行)。仿射变换通过一系列原子变换实现：平移(translation)，缩放(scale)，翻转(flip)，旋转(rotation), 错切扭曲(sheer)。仿射实际上是在仿射空间中进行，而不是向量空间。仿射空间中的点表示为一个基准点与一个向量的和，这里不介绍仿射空间, 见http://courseware./zsb/zsx/Zsx08/ZSX089/ZSX08901/zsx089010.htm

    对于一维的情况，有仿射变换f(x) = Ax + B

    二维一般形式：v = Mw + B

       v,w分别为二维空间坐标，M为变换矩阵

   [ a0   a1 ]

   [ b0   b1 ]

  于是有一般形式

   [x’] = [  a₀x + a₁y + a₂ ]

   [y’]     [  b₀x + b₁y + b₂ ]

   平移：

   M ＝ [ 1 0 ] B为 [dx]

           [ 0 1 ]       [dy]

   旋转：

   M ＝ [ cosθ –sinθ]

           [ sinθ cosθ ]

   扭曲

   M ＝ [ 1 ux ]

           [uy 1 ]

   缩放/伸缩（s1=s2时为缩放）

   M = [ s1 0 ]

         [0 s2 ]

   对于图像处理，仿射变换后的坐标不一定是整数，需要进行灰度插值。

 

正交(orthogonal)

   线性空间中两个向量的内积(几何上可以理解为点乘)为0，称为正交。例如几何上，两个互相垂直的向量为正交，可知正交向量组一定线性无关。用正交矩阵施加的变换称为正交变换。傅立叶变换，余弦变换，Walsh-Hadamard变换均属于正交变换。详情略，请查阅酉空间变换

 

双线性(bilinear)

   设V是域F的一个线性空间，若

     f(k₁a₁ + k₂a2, b) = k₁ f(a1, b) + k₂f(a2, b)

   和f(a, k₁b1 + k₂b2) = k₁f(a,b1) + k₂f(a,b2)

 则称f是V上的一个双线性函数。

 常见的双线性函数形式：f(x，y) = a₀ + a₁x + a₂y + a₃xy

 例如在图像的双线性插值中便是上述的形式。

 

透视(perspective)

   透视变换是一种几何变换，例如在移动机器人视觉研究中，摄像头和地面有一夹角，而不是垂直投下(正投影), 就需要利用透视变换把其校正成正投影。

具有以下形式：