线性空间·射影空间

  射影几何起源于透视和艺术。人的眼睛只能看到2维的图像，3维空间内的物体在人眼里的图像都是2维的投影。想要更真实的反射人眼中的世界，就需要知道3维空间内的物体投射到2维平面内会是什么样子？

图片出自参考文献【1】

  想象一下在3维空间中，有两个平面π和π＇，以及一个不在这两个平面上的点O，从O点出发的射线穿过平面π，把π上的点映射到π＇上，（两个平面相当于屏幕和被投影到屏幕上的物体，点O相当于眼睛，）π上的图形（通过从O点出发的射线）被映射到π＇上会是什么样子？什么样的几何性质在（这些从点O出发的射线的）映射下保持不变？这就是射影几何要研究的内容。

图片出自【1】

  值得一提的是，两个平面π和π＇不需要都在点O的同一侧，可以在点O的不同测，如图所示：

图片出自【1】

  从点O出发的射线可以是任何角度，即使是与π或π＇平行也可以。比如下图所示：

图片出自【1】

  由O出发的射线OP与π＇平行，这种情况下我们可以引进一个假想的无穷远点，把射线OP与平面π＇看作是相交于这个无穷远点。这样，我们可以认为所有从O点出发的射线都与两个平面π和π＇相交。（无穷远点的引入是人为的，这样做只是为了方便我们可以对各种情况统一讨论。而得到的数学结论不会因为有没有无穷远点的概念而有所改变。）

  在有了无穷远点的概念后，任意两条直线都相交于一点（平行直线相交于无穷远点），任意两点确定一条直线。

  我们可以把点O也看作一个无穷远点，这种情况下从点O出发的射线都与两个平面＇平行，这实际上就是我们上节说过的平行投影：

所以，仿射几何是射影几何的一种特例，是点O在无穷远时的情况。射影几何中成立的定理在仿射几何中也成立，反之，在仿射几何中成立的定理在射影几何中不一定成立。比如仿射几何中两条平行直线在仿射变换下仍然保持平行，但在射影几何中两条平行直线会被映射成相交直线。

  上面只是给大家一个关于射影几何的直观的印象。为了更好地理解射影几何和射影空间，我们先来看看射影空间的正式定义。

  在3维空间中，从原点O出发的一条射线，投射在某个不经过原点的屏幕上，射线上所有的点都会投射在屏幕上同一个点。比如下图中A、B、C都位于从O点出发的同一条射线上，它们投射在屏幕上都是同一个点。

图片出自【1】

  在射影几何中，我们关心的是3维空间中不同的点投射到屏幕上会形成哪些不同的点，所以，那些投射到同一个点上的点，也就是那些位于同一条过原点的直线（注意是直线不是射线）上的点，在射影几何中是同一个点。所以，（2维）射影空间中的一个点，是3维向量空间中的一条过原点的直线。

  同样的，在屏幕上的投影形成一条直线的所有的点，就是射影空间中的一条直线，它实际上是3维空间中一个过原点的平面。

图片出自【1】

  而屏幕（2维射影空间）上一个图形，在3维（向量）空间中就是过那个图形与原点的所有的直线，比如2维射影空间上的一个三角形，一个圆，在3维向量空间就如图所示：

图片出自【1】

  上面这些例子是3维向量空间里的1维和2维射影空间，而对于更高维的射影空间，很难用图把它们画出来，所以我们需要用代数方法描述射影空间。

  首先回忆一下，想要描述3维向量空间里任意一个点（向量），需要3个线性无关的向量作为坐标系，在选定一个坐标系后，空间里每一个点X都可以由3个实数（X的坐标）确定。

如图所示，若3维向量空间内一点X的坐标是(x,y,z)，那么直线OX上任意一个点的坐标都可以写成(λx,λy,λz)，其中λ是某个实数。反之，3维向量空间内所有形如(λx,λy,λz)的点都与点(x,y,z)以及原点共线。所以，点(x,y,z)与点(λx,λy,λz)是2维射影空间里的同一个点。

  所以，一个（实）2维的射影空间，也称为射影平面，就是3维（实）向量空间L内所有过原点的直线的集合。L内两个点(x,y,z)，(u,v,w)是射影平面上的同一个点当且仅当存在某个实数λ使得u=λx,v=λy,w=λz。

  更一般的，

  定义1：L是一个实数域上的n+1维向量空间，L内所有过原点的直线的集合构成的空间，称为n维射影空间。n维射影空间上每个点可以由n+1个实数(x₀,x₁,x₂,...,x_n)表示，L中两个点(x₀,x₁,x₂,...,x_n)与(y₀,y₁,y₂,...,y_n)是n维射影空间中同一个点当且仅当存在某个实数λ使得y₀=λx₀,...,y_n=λx_n。

  定义1里L是实数域上的向量空间，相应的射影空间称为实数域上的射影空间。如果L是其它数域上的向量空间，比如复数域，那么相应的射影空间称为复数域上的射影空间。其它数域上的射影空间结构有所不同。为了简单这里我们只考虑实数域。

  接下来我们来看看射影变换的定义，先看看2维射影空间的射影变换。

  如图所示，在3维向量空间中，一个射影平面上的射影变换f会（通过过原点O的直线）把平面π上的点变成平面π＇上的点，更准确的说，是把平面π对应的射影平面（记为P_π）上的点变成π＇对应的射影平面（记为P_π＇）上的点。如果我们能确定P_π内的任意一个点被f映射成P_π＇内的哪个点，那么就能确定这个射影变换f。

图片出自【1】

  对于平面π，可以在它上面任取两个线性无关的向量E₁，E₂作为坐标轴，π上所有的点就可以由这两个坐标轴线性表示。但不要忘了，平面π所对应的射影平面，是3维向量空间中所有过O点和π的直线，这些直线布满了整个3维向量空间，因此想要确定这些直线上的每一点，需要3个坐标轴。为此可以在3维向量空间内任选4个不共线的点作为3个坐标轴E₁，E₂，E₃，那么P_π内任一点X都可以由E₁，E₂，E₃线性表示：X=x₁E₁+x₂E₂+x₃E₃。

  类似的有：

  定义2：一个n维射影空间上的射影变换，是相应的n+1维向量空间上的可逆线性变换，可以由n+1阶可逆矩阵表示。

  容易证明，n维射影空间上所有的射影变换（所有n+1阶可逆矩阵）构成一个群，称为射影群。

  上面的讨论过程中可以看到，射影平面上的射影变换会把3维向量空间的一组基E₁，E₂，E₃变成另一组基f(E₁)，f(E₂)，f(E₃)，而3维向量空间的任一组基对应着4个不共线的点，所以，射影平面上的射影变换会把3维向量空间中的任意4个不共线的点变成另外4个不共线的点，并且可以证明，任意两组4个不共线的点，都有一个射影变换与之对应，即：

  定理1（射影几何基本定理）：3维向量空间（或欧氏空间）中任意两组4个不共线的点A、B、C、D和A＇、B＇、C＇、D＇，都存在唯一一个（2维射影空间上的）射影变换f，使得f(A)=A＇，f(B)=B＇，f(C)=C＇，f(D)=D＇。

  射影几何基本定理表明，3维向量（或欧氏）空间中的任意两个四边形，是射影全等的（若存在一个射影变换把图形A保持B，则称A和B射影全等），也就是说，在射影几何中，所有四边形都是“一样”的。

  我们上节曾提到过仿射几何的基本定理：对于3维（向量或欧氏）空间中任意两个三角形，都存在唯一一个仿射变换把其中一个变成另一个。

  而射影几何是比仿射几何更一般、更具有普遍性的几何。仿射几何里所有三角形都“一样”；而射影几何里甚至所有的四边形都“一样”。

  （仿射几何基本定理在射影几何里不成立，因为存在不只一个射影变换可以把任意一个三角形变成另一个三角形。）

  在仿射几何里，所有椭圆都“一样”；所有双曲线都“一样”；所有抛物线都“一样”。但椭圆、双曲线、抛物线之间并不“一样”。而在射影几何里，椭圆、双曲线、抛物线都是“一样”的，二次曲线本质上只有一个。

  为了理解这一点让我们回忆一下，我们曾说过古希腊数学家阿波罗尼乌斯曾用平面从不同的位置截取圆锥的方法，来对二次曲线进行分类。所有的二次曲线都可以用某个平面截取圆锥得到。如图所示：

图片出自【1】

  而每一个（不过原点的）平面和圆锥都对应了一个射影平面，用两个不同的平面截取圆锥，对应了用一个射影变换把一个射影平面变成另一个射影平面。因此，对于任意两个二次曲线，都存在一个射影变换把其中一个变成另一个。

                         

图片出自【1】

  这个定理在射影几何中也不成立，很容易找到射影变换使得共线3点对应的线段长度比改变。

图片出自【1】

  但在射影几何中，有和这个定理相应的定理，描述了由共线的点决定的不变量，在射影变换下保持不变。这个不变量就是交比。

  假设A、B、C、D是射影平面中4个共线的点。别忘了在3维向量空间中，一个射影点就是一条过原点的直线，一个射影直线就是一个过原点的平面，所以，射影平面中4个共线的点就是过原点的平面内4条过原点的直线。

  对于直线A，我们可以在上面选取一个向量α，这样直线A上所有的点都可以表示成aα，其中a是某个实数。对于其它几个直线B、C、D，同样可以把上面的点表示成bβ、cγ、dδ，其中β、γ、δ是B、C、D上某个向量，b、c、d是某个实数。

  对于4个向量α、β、γ、δ，由于它们都在同一个平面上，且其中任意两个两两线性无关（若有两个线性相关则它们共线，与A、B、C、D是4个不同的点矛盾），所以任意两个都可以作为平面的一组基。不妨令α和β作为平面的一组基，假设γ=pα+qβ，δ=mα+nβ，那么对于直线C、D上任意的点γ＇=cγ、δ＇=dδ，有

γ＇=cγ=cpα+cqβ=p＇α+q＇β， δ＇=dδ=dmα+dnβ=m＇α+n＇β，

其中实数p＇=cp，q＇=cq，m＇=dm，n＇=dn。

  于是有(q＇/p＇)/(m＇/n＇)=(cq/cp)/(dm/dn)=(q/p)/(m/n)。这表明，量(q/p)/(m/n)只由向量α、β、γ、δ决定，与我们在直线A、B、C、D上选取哪些点来表示无关，而向量α、β、γ、δ是由4个射影点A、B、C、D决定的，所以一旦在射影平面上取定4个共线点A、B、C、D，量(q/p)/(m/n)也就确定了。

  定义3：令A、B、C、D是射影平面上4个共线点，α、β、γ、δ是A、B、C、D在3维向量空间中相对应的4个向量。若γ=pα+qβ，δ=mα+nβ，则量(q/p)/(m/n)是由A、B、C、D决定的一个实数，称为A、B、C、D的交比。

  交比与我们在直线A、B、C、D上选取哪些点来表示无关，但它与我们选取A、B、C、D4个点的顺序有关，如果我们改变顺序，比如交换A和B，那么B、A、C、D的交比就是(p/q)/(n/m)=pm/qn=1/(q/p)/(m/n)。所以A、B、C、D的交比=B、A、C、D的交比的倒数。类似的，改变A、B、C、D中任意两个点的顺序，得到的4个点的交比与A、B、C、D的交比有关，可以由A、B、C、D的交比求得，我们不再赘述。

  现在我们证明交比是一个射影不变量。

  定理2：射影变换不会改变交比。更具体的，若A、B、C、D是射影平面上4个共线点，f是一个射影变换，那么f(A)、f(B)、f(C)、f(D)的交比等于A、B、C、D的交比。

证明：若α、β、γ、δ是A、B、C、D在3维向量空间中相对应的4个向量，那么f(α)、f(β)、f(γ)、f(δ)就是f(A)、f(B)、f(C)、f(D)在3维向量空间中相对应的4个向量。若γ=pα+qβ，δ=mα+nβ，由于f是一个3维向量空间中的可逆线性变换，于是f(γ)=f(pα+qβ)=pf(α)+qf(β)，f(δ)=f(mα+nβ)=mf(α)+nf(β)，所以，f(A)、f(B)、f(C)、f(D)的交比也是(q/p)/(m/n)。

  关于交比的性质，以及射影几何其它更深入的内容，我们到此为止不再深入，毕竟我们本节的目的是让大家对射影空间的定义有一个直观的理解，以及对射影几何、仿射几何、欧氏几何之间的差别有所理解。实际上，射影空间在拓扑学和微分几何中都是非常重要的结构，射影群也是常见的一种群。将来我们深入更深层次的数学时一定还会再遇到射影空间等相关概念，到时候再细说。

  最后我们从变换群的角度总结一下射影几何、仿射几何、欧氏几何之间的差别。

欧氏几何：

  欧氏几何中的图形在等距变换下保持不变。等距变换由3种最基本的等距变换复合而成：旋转，反射，平移，其中旋转变换和反射变换统称正交变换，正交变换的矩阵的行列式的绝对值都是1。

  一个n维欧氏空间上的等距变换f可以写成f(X)=A(X)+V，其中A是一个n阶正交矩阵，A(X)表示对n维欧氏空间上的点X进行正交变换A，|det(A)|=1，+V表示平移变换。

  所有等距变换（在映射的复合作用下）构成一个群——等距变换群，欧氏几何中的性质在等距变换下保持不变。

仿射几何：

  仿射几何中的图形在仿射变换下保持不变。一个n维仿射空间上的仿射变换f可以写成f(X)=A(X)+V，其中A是一个n阶可逆矩阵，|det(A)|≠0，+V表示平移变换。

  所有仿射变换构成一个群——仿射变换群，仿射几何中的性质在仿射变换下保持不变。

  等距变换群是仿射变换群的一个子群，仿射几何中的性质是在更多变换下保持不变的性质。仿射几何是比欧氏几何更一般的，更具有普遍性的几何。

参考文献：

【1】David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray,  Geometry .

【2】Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov,Linear Algebra and Geometry .