最抽象的数学理论（之一）——厦理论，构建群论中的几何大厦

代数结构是数学中对于集合上的代数运算所满足的性质的一种描述。数学家研究各种具有不同性质的代数结构，以了解它们的共性和特点。以下是一些常见的代数结构：

1. 群（Group）：一个集合和一个二元运算满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
2. 环（Ring）：一个集合和两个二元运算（通常为加法和乘法），满足封闭性、加法和乘法的结合律、加法的交换律、加法单位元、加法逆元以及分配律等性质。环可以看作是群的扩展，因为它包含两个运算。整数集合Z就是一个环。
3. 域（Field）：一个集合和两个二元运算（加法和乘法），满足封闭性、加法和乘法的结合律、加法和乘法的交换律、加法和乘法单位元、加法和乘法逆元（除零以外）以及分配律等性质。域是环的特殊情况，它的乘法满足交换律，并且所有非零元素都有乘法逆元。
4. 向量空间（Vector Space）：一个集合和两个运算（向量加法和标量乘法），满足封闭性、加法的结合律、加法的交换律、加法单位元、加法逆元、标量乘法的结合律、标量乘法的分配律等性质。向量空间是线性代数中的基本概念，通常用于研究线性方程组和线性变换等问题。
5. 模（Module）：类似于向量空间，但标量可以是环中的元素而不仅仅是域中的元素。这使得模具有更广泛的应用，比如在代数几何和同调代数等领域。

本文要讨论是一种跟群论相关的数学理论，称为厦理论（buildings）。厦理论是一种独特且具有深远影响的几何理论，自20世纪60年代由比利时数学家雅克·提茨（Jacques Tits）提出以来，其在数学界的地位愈发显著。厦理论的核心思想是通过构建一种具有丰富几何结构的组合对象——厦，来研究代数群、有限群、李群等拥有高度对称性质的数学对象。这一理论的引入不仅拓宽了数学家们对这些对象内在对称性质的认识，还为相关领域的研究提供了一种全新的视角和有效的工具。随着厦理论在代数、几何和拓扑等领域的广泛应用，其在现代数学中的重要性日益凸显。

厦理论

向量空间上的可逆线性变换构成一个群，称为一般线性群（（general linear group））。考虑二维实数向量空间

我们可以在这个空间上定义可逆线性变换。可逆线性变换是指在该变换下，向量之间的线性关系保持不变且变换是可逆的。这些可逆线性变换构成一个群，称为一般线性群，记作

若向量空间的维数为n、标量域为K，则此群记为

如果取此向量空间的一个基底，则此群的每一个元素都可以写成一个n×n矩阵，而且其行列式非零。这个群及其子群在数学中有很大的作用，而且可以对它进行'几何地'研究：考虑一个向量空间V，其中原点自然会起一个独特的作用，而且在此群的一切变换下都不变，现在来看与V相关的射影空间，这个射影空间的点是V的1维子空间、其直线是V的2维子空间，平面则是V的3维子空间，等等。

射影空间的基本思想是通过引入“无穷远”点来扩展欧几里得空间，这样一来，平行线会相交于射影空间中的一个无穷远点，从而消除了平行性这一特殊情况。

如果对GL_n（K）中的线性变换（或其矩阵）加上一些限制，就可以得到GL_n（K）的一些重要的子群。例如，所有行列式等于1的线性变换构成特殊线性变换群SL_n（K）。群O（n）则是n维实内积空间中使得内积不变的线性变换α所成的群，即对任意两个向量v，w恒有

或者用α的矩阵A来表示，这个条件成为

更为一般地说，取保持一个双线性或半线性形式（sesquili-near form）不变的所有线性变换，就可以得到GL_n（K）的许多类似的子群。这些子群称为经典群。经典群或者是单群，或者近于单群。若K是实数域或复数域，则经典群成为李群。

单群（simple group）是指一个群，它没有非平凡的正规子群。这里，“非平凡”指的是子群不仅仅是群本身或仅包含单位元素的子群。换句话说，单群不能被分解成较小的群的乘积。

简单李群可以分为两类：经典李群和例外李群。，它们包括了四个族A_n、B_n、C_n和D_n，

• A_n：特殊线性群（Special Linear Group），记作 SL(n+1, F)。它包括 n+1 维向量空间上行列式为 1 的可逆矩阵组成的群。这个群的阶数是 n+1。
• B_n：特殊正交群（Special Orthogonal Group），记作 SO(2n+1, F)。它包括保持标准二次型不变的线性变换组成的群。这个群的阶数是 2n+1。
• C_n：辛群（Symplectic Group），记作 Sp(2n, F)。它包括保持辛二次型不变的线性变换组成的群。这个群的阶数是 2n。
• D_n：特殊正交群（Special Orthogonal Group），记作 SO(2n, F)。它同样包括保持标准二次型不变的线性变换组成的群。这个群的阶数是 2n。

此外还有几个例外的个例E_6，E_7，E_8，F_4和G_2，

• E_6：这是一个78维的非紧致李群，对应于一个78维的李代数。它在表示理论、超对称理论和弦理等领域中有重要应用。E_6 还与一种叫做最小超对称标准模型（MSSM）的物理模型有关。
• E_7：这是一个133维的非紧致李群，对应于一个133维的李代数。它在代数几何、表示理论和物理学中有许多应用。E_7 也与弦理和11维超引力理论等领域有关。
• E_8：这是一个最大的例外李群，是一个248维的非紧致李群，对应于一个248维的李代数。E_8 在数学和理论物理中有重要意义，如弦理、M-理论和E_8 × E_8 异常理论等。E_8 也与一种称为E_8格的密集格子结构有关。
• F_4：这是一个52维的非紧致李群，对应于一个52维的李代数。F_4 是最小的例外李群。它在表示理论和几何学中有应用，特别是在杰出的四维八元数几何中起到关键作用。
• G_2：这是一个14维的非紧致李群，对应于一个14维的李代数。G_2 是与八元数和特殊的七维流形相关的唯一的非紧致例外李群。在超对称理论、M-理论和特殊的几何结构（如G_2流形）中，G_2 扮演了重要角色。

• E8的Petrie投影，一种将E8根系统（一个特殊的248维向量空间）的几何结构可视化的方法

这些简单李群在任意域上都有类比物，称为李型的群。例如K可以是有限域。这时群就成了有限群。可以证明几乎所有的有限单群都是李型的。在20世纪的前半叶，发展了经典群下面的几何理论。这个理论使用了射影空间和它的各个子几何学，这就使得有可能对于经典群给出其类似物，但是它不能给出E_6，E_7，E_8，F_4和G_2的类似物。由于这个理由，雅克·蒂茨寻求包含所有这些族的几何理论，于是创造了厦理论。

一个厦的完全的抽象的定义有点复杂，所以我们限于只看一下与A_（n-1）型的群GL_n（K）和SL_n（K）相关的厦，以便得到一点了解。这个厦是一个抽象的单纯复形，而可以看作图的高维类比。

一个厦中包含了一族点，称为顶点；和在图中一样，取一些点对，称为棱；然后就与图不同了，还可以取一些点的三元组，构成2维的面，仿此以往，取一些k-1维的单形（simplex）的集合（k-1维单形是由k个顶点构成的，其几何意义就是k个处于一般位置的点的凸包，这里所谓一般位置，就是要防止出现例如共线这样的特殊情况，也就是要求它们线性无关，例如一个非退化的四面体就是一个3维单形）。单形的面也要包括在单形之内，所以3个顶点若非每两个顶点都有棱连接，就不能构成单形。

为了构成A_(n-1)型的厦，先取所有的1维、2维、3维等各个维数的子空间（它们在射影空间里分别代表点、线、面等），把这些子空间当作“顶点”，然后再作各维的单形如下：一串依次包含的真子空间就是单形，例如先有一个2维空间，它含于某个4维空间内，而这个4维空间又含于一个5维空间内，这样的3个'顶点'就构成一个三角形，即2维单形，这里的2维、4维、5维子空间就是它的3个顶点。最大维的单形有n-1个顶点，成为一串套在一起：一个1维子空间，位于一个2维子空间之内，再位于一个3维子空间之内，如此等等。这些单形就叫做房（chambers）。

由于子空间为数巨大，所以一个厦是一个非常巨大的对象。然而，厦有重要的子几何对象，称为公寓（apartment），在A_(n-1)的情况，公寓是这样造出来的：取向量空间的一个基底，然后取这个基底的一切子集合及其生成的子空间。例如在 A_3的情况下，向量空间是4维的，所以基底由4个元素构成，基底的子集合一共可以构成4个1维空间、6个2维空间和4个3维空间。为了使得这个公寓成为可视的，一个有用的方法是把这4个1维子空间看成一个四面体的4个顶点，6个2维子空间看成其6个棱的中点、4个3维子空间看成其4个面的重心。

于是，一个房就由一个顶点、一个连接此顶点的棱——用其中点表示——和挨着这个棱的面——用其重心来表示，这样就成了一个小三角形。这样，一个公寓就有24个房，每一个面 （分成了6个小三角形）就是6个房，这24个房构成了这个四面体表面的一个铺砖结构（tiling）。这个表面拓扑地等价于球面，作为这个厦的所有的公寓。所以，这个厦就叫做球面厦。所有李型的群的厦都是球面厦，而且正如A_3的厦与四面体相关一样，其他的公寓相关于n维的正多面体和半正多面体，这里n就是前面说过的李的记号的下标。

厦有以下两个值得注意的特点。首先，任意两个房都位于共同的公寓内。在上面的例子中这并不显然，但是可以用线性代数来证明。第二，在任意厦中，所有的公寓都是同构的，而且任意两个公寓都很漂亮地相交。所谓漂亮，准确地说就是如果A和A'是两个公寓，则AnA'为凸，而且存在一个由A到A'的同构，使A∩A'在此同构下不变。蒂茨原来就是用这两个特点来定义厦的。

球面厦的理论并不只是对李型的群给出了几何基础，它也可以用于对任意域K来构造E_6，E_7，E_8和F_4的厦，而不需要用李代数这样精巧的工具。一旦把这些厦构造出来（而且是用惊人简单的方法来构造），蒂茨关于自同构存在的一个定理就证明了群本身的存在。

在球面厦里，公寓就是球面的一个铺砖结构，但是其他类型的厦也起显著的作用。特别重要的是仿射厦，这时，公寓是欧几里得空间的铺砖结构，这种厦自然地在GL_n（K）这样的群中产生，这里K是一个p进域。对于这种域，有两种厦一是球面厦，一是仿射厦，但是仿射厦带有更多的信息，而把球面厦给出为'无穷远处”的结构再超越仿射厦，还有双曲厦，它的公寓是双曲空间的铺砖结构，它们在研究双曲 Kac-Moody 群时自然地产生。