本书为日本东京大学数学教学成果的总结性著作，由时任东京大学理学院院长弥永昌吉教授策划，教学经验丰富的斋藤正彦教授执笔创作，是日本久负盛名的线性代数图书。
本书内容结合了东京大学教养学部的线性代数课程实践，以及东京大学数学系诸多教授的探讨与思索。本书内容循序渐进，结构严谨，从直观描述开始，逐步引入形式描述，注重从几何角度引导读者理解线性代数的本质，是帮助读者学习线性代数、加深对线性代数理解的数学教材。
《线性代数入门》，[日]斋藤正彦著，游杰、段连连、康建召译。长销57年的线性代数入门名著，影响日本科技与历史轨迹的数学经典
本书在日本享有盛名，是诸多本科数学基础课教材中的一部名著，基于作者多年在东京大学为本科新生讲授一年期线性代数课程的教学经验撰写打磨而成。在日本，本书与佐武一郎(Satake Ichiro)所撰《線型代数学》并为线性代数教科书中的两部“圣经”。自1966年初版以来，本书已重印60余次，2006年与佐武一郎的教材共同荣获日本数学会出版奖，其经典程度可见一斑。
本书在内容上大致涵盖国内数学系高等代数与空间解析几何课程的主要内容。
第一章承接高中的学习，在平面与空间向量的语境中讲解线性变换与行列式的几何直观。作者从旋转变换与向量外积等具体知识出发，先在二、三维空间中解说线性变换与行列式的直观内涵。
第二、三章详述矩阵与行列式的一般概念、经典性质与具体计算方法，为后文的理论准备好主要的计算工具。
第四章展开线性空间的抽象理论，铺陈基、维数、子空间、线性函数与线性变换等核心内容。此外，作者还在本章末较早地引入了带度量的线性空间与保度量的线性变换的概念，并渗透泛函分析的基本例子以增进读者对抽象理论的感受力。
第五章详论特征值与特征向量；在此基础上，作者随后便十分明快地讲解了酉空间中的正规变换、欧氏空间中的对称变换以及二次形的经典内容。值得注意的是，作者在展开这部分内容时尤其注重联系分析的视角，强调特征值（谱）、正定性与分析学的紧密关联。作为几何应用，作者立即在紧随其后的章末两节讲解平面二次曲线与空间二次曲面的分类，以及空间旋转变换的矩阵计算与几何直观。
第六章处理线性代数中最经典的“大定理”——Jordan标准形。为降低难度，作者先讲解lambda矩阵与初等因子的具体计算方法，解说其与矩阵相似的理论关联，并以详细的计算例辅助理解。在据此得到Jordan标准形后，作者再展开空间分解、极小多项式与Hamilton-Cayley定理等相对抽象的理论内容。
第七章为本书的一大特色，介绍向量与矩阵分析的初步内容及其应用。在有限的篇幅中，作者聚焦于向量微积分、矩阵幂级数与非负矩阵（全体矩阵元为非负实数的矩阵）三个主题的基本知识，并以具体的计算例讲解其在曲率挠率计算、线性微分方程求解中的应用，以及Perron-Frobenius定理等内容。
正文后的三个附录分别收录对多项式、欧氏几何公理，以及群与域公理的相关补充。正文与附录的每章末附有适量习题，书末附有习题略解。
全书的起点较低，一大特色是计算方法与几何直观先行，一般理论在后；书中尤其强调对具体例子的计算操作与理解。此外，作者几乎处处强调线性代数中重要概念、定理与分析知识的紧密关联，并多以计算实例加以说明。例如在引入线性变换时，作者给出微分算子与函数空间的案例；在引入内积空间时，则讲解微积分中Fourier级数计算的正交基本质；在讨论内积空间上的变换时，则介绍从分析与算子视角如何理解特征值；在给出Jordan标准形后，则提及它如何在线性微分方程的求解中自然出现；等等。
值得一提的是，由于东京大学的本科学制在前两年并不细分具体专业，本书在日本的读者并不限于数学系学生，而实为一部面向全部理工科专业学生的教材。为了在不失严格性的前提下尽可能将抽象理论深入浅出地讲解清楚，并同时兼顾非数学专业学生的应用需求，作者在授课与撰写本书时下了很大的功夫。正因如此，本书在取材与讲授的顺序上有多处与国内常见教材的设计安排不尽相同。
国内常见教材在顺序上多将与度量相关的内容置于整个课程的最后，并单辟一章；本书则尽早地引入度量结构，并将（复）正规变换与（实）对称变换的讨论与二次形的内容置于Jordan标准形之前，在铺陈了特征值与特征子空间之后立即处理这些内容。这一方面是因为这些内容在技术上较Jordan标准形更易于接受，另一方面也是考虑到这些内容在自然科学与工程领域中的实用性与重要性。与此同时，作为全书特色的最后一章的选材与立意也充分考虑了对于理工科学生的实用价值。
正如日本现代数学之父高木贞治在其著名教材《解析概论》中所说，数学教材大抵可分为讲义式与教本式两种，前者侧重教学上的自然与可读性，而后者更追求理论建构与逻辑上的精致完美。无疑，本书与《解析概论》在教学精神与写作风格上十分一致，同属于日式讲义式教材中的典范。由于课时设置比国内数学系更少，本书与国内同类教材相比，篇幅、理论细节或是技巧性习题都要少许多；但其娓娓道来的讲义式风格与取材铺陈的精心安排使得读者在不满三百页的篇幅中很快便能抓住线性代数的精华。相信这样一本颇具特色的教科书对国内读者会有相当的启发与帮助。
