如何理解施密特正交化？

如果  是某向量空间的基，那么可通过下列做法找到该向量空间中的  个两两正交的向量  ：  该方法称为施密特正交化（Gram–Schmidt process）。

1 二维平面

下面以在  中寻找两个正交的向量为例，来解释下施密特正交化是如何推导出来的。

1.1 思路

让我们从思路说起，比如想寻找  中的两个正交向量，需要先知道  的一个基，也就是下图中的两个向量：

只要将其中一个向量对另外一个向量进行投影，就可以完成正交化：

2 代数

下面来进行代数推导，假设基为  ：

任选其一作为  ，比如选  ：

将  向  进行投影，其垂线就是要求的  ：

如果知道了  的投影：

那么根据向量减法的几何意义可知：  其中的投影向量可以如下计算： （上述的计算是这样的， 根据点积的定义有： 其中  是  在  上的投影长度，  是和  同方向的单位向量，所以说  是  在  上的投影向量） 

所以：  上述方法就称为施密特正交化，可以总结如下：  这样得到的  和  就是  中正交的两个向量：

2.1 任意的平面

之前的推导是在  中完成的，实际上该结论在任意平面上也是成立的，比如已知三维向量空间中某平面以及它的基  ，下面是示意图：

如果想在该平面中找到两个正交的向量，那么根据施密特正交化，可算出：该  和  就是该平面中的两个正交向量：

可以分两步来验算：

        （1）验算  和  是否正交。计算两者点积：  可知  和  正交。

        （2）验算  和  是否在  和  的张成空间中。根据施密特正交化的计算方法：  因为  ，所以  必然在  和  的张成空间中，而  是  和  线性组合，自然也在  和  的张成空间中。

3 三维立体

下面是在  中寻找三个两两正交的向量的例子，这样可以进一步理解施密特正交化的推导。

3.1 思路

思路还是很简单，比如想寻找  中的三个两两正交向量，需要先知道  的一个基，也就是下图中的三个向量：

先按照之前介绍的，将其中任意两个向量正交化：

然后向这两个正交向量的张成空间作垂线，从而得到三个正交向量：

3.2 代数

下面来进行代数推导，假设基为  、  和  ：

任选两个向量，按照之前介绍的将其中任意两个向量正交化，得到  和  ：

再将  作  张成平面的垂线就得到  ：

要求出  只需要知道  的投影：

然后根据向量减法的几何意义可知：  从几何上可以看出，该投影向量是由  在  上的投影向量和  在  上的投影向量线性组合而成：

即：  所以：  上述过程可以总结如下：  这样得到的  就是  中三个两两正交的向量：

我们用同样的通俗易懂、图形化的方式，对《线性代数》、《单变量微积分》、《多变量微积分》、《概率论与数理统计》进行了精讲：