中学生线性代数2——向量，向量空间，基底与矩阵的加减

上一篇中（中学生线性代数1——从线性方程组到求矩阵的逆），我们从矩阵的角度介绍了行向量与列向量的概念。物理学中力，位移，速度，加速度，磁场电场量都可用向量表示。在物理的语境下，向量代表着一个空间或者平面上有方向与长度的几何量，就是一条有方向的线段。

向量的相等：

两个向量相等的意思除去大小相等，方向还得一致，就是平行且同向。向量相等可以代数形式表达成：

向量平行的判据：

这就是向量相等定义的一个直接推论，只需我们承认直线外一点可做且仅可做一条平行线，且任意固定两条线段的比为定值即可。

向量相加：

向量的相加按平行四边形或者三角形法则进行。

对于物理中的位移，向量加法法则是最好理解的，从A位移到B，再从B移动到C，等效于移动了

如果承认时空独立，则速度叠加按向量相加的方式进行就是位移叠加的简单微分。我们不是为了建立物理理论来讲向量，而是想介绍线性代数的核心内容，所以不展开说这个。

向量分解唯一性定理：

一般说来任意的平面的向量，可以由两个不相关的向量线性表示出来。而一个空间的三维向量可以用三个不相关的向量线性表达出来，甚至n个不相关的向量可以表达出一个所谓n维空间的任意一个向量。

基底：就是n维向量中n个相互独立的向量。

基底的选择可以任意，只需不相关即可。但在实际操作中具有明显意义的特殊基底会方便应用。如果定义直角坐标系xoy下，与x轴平行的单位向量为i，与y轴平行的单位向量为j，根据向量相等的定义平面直角坐标系xoy下任意向量就等于过O点与该向量平行，方向相同，大小相等的向量

如果A的坐标为（x，y），向量

在线性代数里我们可以用上行向量或者列向量加以表示。

在xoy坐标系下，向量的加可以表示成对位x，y分量的加，如下图。

可以推广这种做法到任意两个矩阵。两个矩阵只有行列个数都一样，才能加减，就是对位元素相加减。

向量的投影与内积：

一个向量在一条直线上的投影是指，过向量端点向直线做垂线，垂足之间形成的向量叫这个向量在直线上的投影。

而由三角形在直接上投影的特征，如下图。

而向量内积满足交换律，也不难用平面几何的相似予以说明。当两个向量相互垂足的时候，投影会退化成一个点，这样可得

向量垂直的判据：

在直角坐标系xoy下，i，j分别是x方向，y方向单位向量

正交：行列向量的数积为0，则称两向量正交。

对于n维空间的任意两个向量V1，V2

的大小刻画了两个量的关联程度，越逼近1，两个向量越类似，从2维，3维的角度看方向越一致，其实代表了两个向量夹角的余弦值，而越逼近0，越逼近正交，这种想法被现代统计，现代数学，现代物理大量使用着。

几句多余的话：

线性代数的观念基本是法国式数学的观念，从笛卡尔抽象出x，y坐标用数对对应几何点就根植于法国数学文化之中，射影几何到降维，到变换，到操作符号的矩阵化都有法国人的贡献， 结构的形式更是法国式的。英美的实用主义特色，将矩阵广泛用于各类统计，概率中，这导致线性代数的思想贯穿于整个数学的发展中，以及近代物理，现代通信，计算机，人工智能，图形图像的各个领域。发端于具体问题，推广到各个角落，诠释数学的应用广度，没有比线性代数更广泛的科目了。太长了，下次再写矩阵与几何变换。