【原】线性泛函分析必学的一些概念

相信很多读者都会误以为笔者是做泛函分析方向的,其实并非如此.笔者主要研究方向为偏微分方程中的双曲守恒律,因此所要拥有的数学基础是泛函分析和实分析.泛函分析相对于实分析而言,属于一种"软分析",其与实分析这种"硬分析"有所不同,它的主要功能是为了建立一个"分析"框架.我们时常在泛函分析里面遇到的Banach空间和Hilbert空间均是一种体系框架.特别的,我们希望研究算子(泛函)在这些空间中所具有的特性.像绝大多数研究偏微分方程的人,都必须要学习Sobolev空间,它的样子是:

其中是指标,而是一个给定的区域.要想明白这个符号所表示的意思,就不得不了解什么是空间,而这个是基本的泛函分析课程所必修的内容.更为一般的是,当我们的线性空间放在拓扑意义下去考量时,自然就形成了所谓的拓扑线性空间,这时你就得了解一门重要的数学"新三高"课程——拓扑学.

拓扑学其实是一种几何学,研究的是大范围空间的概念,其对几何图形的形状、大小等问题不太关心.实际上,它所关心的是图形整体结构上的特性.比如从直观上看椭球面和球面是完全不同的几何曲面,但是它们却具有相同的拓扑.从这个角度出发,可以想见拓扑学描述空间的方式不够精细.正因为描述方式过于粗糙,才使得它的结果更具有普遍性和深刻性.此外,其与代数学联系甚是密切,比如同调代数理论中的"复形"更是源于拓扑学.像早期的拓扑学主要分为基础拓扑学和代数拓扑学,后者恰恰是代数与拓扑的某种结合.

那么你要学习线性泛函分析会接触到哪些概念呢?基本的拓扑学入门知识肯定要掌握的,此外也还有其他一些你必须熟知的概念.

  一.拓扑空间

拓扑空间的基本概念、Hausdorff空间的概念、网的概念(定向集概念)、连续映射概念与等价条件(两个等价条件:其一，与网；其二，与开集闭集关系)、距离空间的完备性(疏朗集概念、第一纲概念)
网的概念引入是为了刻画拓扑空间的收敛性，点列的收敛性已经不足以刻画各种收敛概念。

二.拓扑线性空间

第一组：拓扑线性空间概念、半范数、上的均衡/吸收/凸子集概念、Minkowski泛函概念、局部凸的拓扑线性空间(局部凸空间)
Problem1:如何将Minkowski泛函构造成半范数？需要对Minkowski泛函赋予怎样的条件？
Problem2:局部凸空间的充要条件是什么？

第二组：范数、赋准范线性空间、Frechet空间、赋范线性空间、Banach空间的基本概念.

结论1：当是Banach空间，是的线性闭子空间，则商空间也是Banach空间.
结论2：,单位球映射到单位球上去.

第三组：内积、内积空间、平行四边形公式、Hilbert空间、投影等概念
Problem3:内积空间如何由内积导出范数？方法是什么？
Problem4:范数可以由内积导出的充要条件是什么？答曰:需要满足平行四边形公式！
结论3：平行四边形公式成立时，内积可以由范数按照"极化恒等式"给出！

第四组：一致凸空间的概念、严格凸空间的概念.
Problem5:一致凸的Banach空间有哪些良好的良好性质?
Problem6:严格凸的赋范线性空间的等价条件是什么?
结论4：内积空间必为一致凸空间，为什么(平行四边形公式)？哪些空间是一致凸的？举例说明。
结论5：一致凸空间必是严格凸的，但是反之不正确。

三.紧性

第一组:有限交性质概念、紧集概念、同胚概念
结论6：是拓扑空间中的紧集的等价条件是什么？
结论7：紧集的相关性质

• 紧集的闭子集是紧集；
• Hausdorff空间中的紧集必是闭集；
• 连续映射将紧集映射为紧集.

第二组:距离空间的完全有界集与列紧集概念
列紧:如果任何点列{},均有收敛子列{}.
结论8：距离空间中的列紧集一定是完全有界的，但是反过来不成立，需要再对距离空间附加一个条件:完备。

四.Hahn-Banach定理及其几何形式

自反空间：记,若,则称为自反空间.
泛函分离和的概念、线性空间凸集的端点概念.

五.线性算子基本定理

开映射的基本概念(简单地说,将开集映为开集),闭算子概念(是乘积空间中的闭集),范数强弱定义,赋范线性空间的Schauder基,点列的强/弱收敛,泛函的强/弱收敛,强/弱算子拓扑收敛.
结论9：闭算子的充要条件是什么?

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在知识之光的沐浴下,幸福的成就似乎是理所当然的,当事情明了后,任何一个聪明的学生都可以不费太多的力气去掌握它.   ——Einstein

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