【原】巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：

小周的数学世界 2021-12-07

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巴拿赫空间上的有界线性算子

前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！

有界线性算子

定义1：

设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:

我们称这样的映射为线性映射或线性算子.

给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.

当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.

如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！

首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：

这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)

比如：在中定义积分算子：

这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.

现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！

定理1：

设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.

证明：因为对任意的都有：

又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：

推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.

下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：

定理2：

设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .

证明：

充分性：显然.

必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：

先考虑任意的,那么,所以：

因此：

命题得证.

有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：

定理3：

设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：

(i) 连续;

(ii) 在原点处连续;

(iii) 有界.

证明：

显然.

注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：

因此对任意的,都有：

因此：

所以：

所以有界.

设且,那么：

因此在处连续.故得证.

线性算子空间

从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.

设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：

他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:

显然它可以等价定义为：

有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）

因为是有界泛函，所以：

因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。

下边我们要验证这确实是一个范数：首先正定性和齐次性是很自然满足的，我们只验证三角不等式！

考虑,那么：

因此三角不等式也成立，所以这确实是一个范数.

虽然算子的范数是有界线性算子的一个特性，但是我们不期待能够以来它刻画有界线性算子，这是因为其范数实在太难算了！(我是有一说一，它是真的难算，不说别的，就算是有限维空间这个也是非常难算的，甚至在某些情况下，无界情形要比有界好算的多，如果不相信你就回顾下数分中的矩阵范数吧，这时有限维的，试一试好不好算！)

我们下列展示一下几个无穷维空间的线性算子的计算：(留在这里，下次补充！众所周知，我的下次永远没有下次....)

下边我们继续考虑，这个空间上的拓扑结构: