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在大学数学的教学过程中，由于比较普遍地采用了严格的形式推理方法，很少讲来龙去脉，从而使大多数中等程度的学生对教学内容不能很好地理解和掌握，没有领悟大学数学知识的内涵以及数学内部各分支之间、数学与其他学科之间的紧密联系。 人们开始相信：运用数学史的观点与材料可能是解决这一难题的主要方法。在学习数学时，如果不从数学历史发展的角度来重新组织教学的体系与内容，则很难让学生们真正理解课本上形式化推理体系的背后所包含的实际内涵。人们发现，历史上一些大数学家们的朴素的想法和他们所解决过的一些相对简单的问题极具教育上的价值。目前，越来越多的国外大学数学教材开始运用数学史的观点与材料，来重新组织大学数学课程的体系与教学内容。例如，由著名的Springer-Verlag 出版社出版的优秀的大学数学本科UTM（Undergraduate Texts in Mathematics）丛书中的不少教材或多或少都是用这种方法来编写的。 图1：UTM丛书中的一本教材：《从费马到闵科夫斯基：数论及其历史发展讲义》 这些运用历史观点和材料来编写的教材，以其富有启发性和深入浅出的鲜明特色而受到了普遍欢迎。这种教学思路或方法在本文中称为历史途径法，英文的原文是historical approach或genetic method，也可以译成“从历史角度来讲解”。本文初步总结了历史途径法的教学含义和一些主要特点，搜集和整理了在大学数学的教学中运用历史途径法的一些具体做法。 一、为什么要运用历史途径法运用历史途径法编写的早期教材包括了数学家Otto Toeplitz编写的微积分教材、霍格本的《大众数学》以及R. 柯朗与H. 罗宾合写的名著《什么是数学》。 图2：R. 柯朗与H. 罗宾合写的《什么是数学》的中译本 历史途径法将数学史与大学数学的教学有机地结合起来，直接或间接地在历史的框架中讲授大学数学课程的内容，用历史上曾经出现过的原始数学问题来引入教学的主题，并且运用前人的朴素想法，来解决一些相对简单的问题，从中揭示抽象的数学概念与方法所包含的丰富的实际内涵，同时避免让学生在初学时就纠缠于一些理论上的细枝末节。H. M. Edwards在他编写的教材《费马大定理：代数数论的原始导引》的前言中说“正如本书第二个标题（genetic introduction，即“原始导引”）所指明的那样，本书所采用的基本方法是历史途径法（genetic method）。词典上对genetic method的定义是'用起源和以后的演变发展来解释和评价某一事物或事件’。在这本书里，我试图解释这个理论中最基本的方法和概念，并通过追溯几位数学大师（费马、欧拉、拉格朗日、高斯、狄里克莱和库默尔等人）工作的起源和以后的演变发展，尽量使这些方法和概念看起来是十分自然、简单，而又非常有效的。” 图3：H. M. Edwards写的《费马大定理：代数数论的原始导引》的英文影印本 数学家M. Spivak为了解释在现代微分几何中十分基本的黎曼曲率张量的概念是怎么来的，在其部分运用历史途径法编写的五卷名著《微分几何综合引论》中，从欧拉最早的用平面与曲面相交的方法定义曲面法曲率开始讲起，详细介绍了高斯如何改进欧拉的曲面法曲率的定义，而得到了他的高斯曲率定义，并且逐步推导出了“高斯曲率仅与曲面的度量有关”这一十分重要的内蕴几何定理。然后通过讲解黎曼的原著，详细介绍了黎曼如何按照高斯的基本思路,将空间的拓扑性质与度量性质分离了开来,成功地将低维的高斯曲率推广到了高维的黎曼流形上,这个推广就是黎曼曲率张量。从这一过程可以看出复杂抽象的黎曼曲率张量是如何自然产生的。M. Spivak说：
他还说：
图4：M. Spivak写的《微分几何综合引论》英文影印本的第二卷 传统的大学数学教材往往是在相应分支学科内已经成为经典的研究专著的一个简编，或者是简编的简编。虽然在这些被公认为是必读的研究专著中具有一些最重要和最基本的成果，并且不乏少量具有启发性的适用于基础课教学的材料，但从总体上看，这些专著的主要目的是为了清理该分支发展初期难免的混沌状态，完整精确地建立起已有各结果之间的逻辑联系，并且尽可能精炼地得到最一般的结果（同时也擦去了走过的痕迹）。这样做对该学科分支以后的进一步研究和发展来说是十分必要的，也是由数学的本质特性所决定的。但是，和许多两难的事情一样，由于最后定型的概念和成熟的方法一般不能反映数学思想发展的实际进程，所以这样必定会给初学者造成学习上的困难。 例如，数学家范德瓦尔登在20世纪20年代末根据数学家A. E. 诺特和E. Artin的讲稿而写的两卷名著《代数学》，系统总结了自戴德金以来在抽象代数方面的工作，它对代数学及现代数学的进一步发展影响极大。但是，诺特本人说她的想法来自于戴德金在代数数论方面的工作，劝她的学生多读戴德金的著作。“这样，尽管诺特的代数学是极其抽象的，但她的学生们都意识到她的工作直接来自于高斯和狄里克莱在数论方面的工作。然而，在范德瓦尔登的《代数学》中，这种联系被不幸地切断了，许多下一代成长起来的学生并没有意识到这一点。”很多后来写的抽象代数（或近世代数）的教科书基本上延续了这种只讲逻辑推演的理论而不讲来龙去脉的做法。 图5：范德瓦尔登写的《代数学》的两卷中译本 更有甚者，由于受到布尔巴基结构主义抽象化的影响，在20世纪中叶的数学写作的时尚是：“在证明一个定理时，如果它能够作为一个更一般定理的特殊情形，那么就决不会去证明它。为了讲平面几何，先讲n维几何，然后再让n = 2。”“令人感到欣慰的是，近年来这种趋势得到了扭转。特别是，E. Artin的儿子M. Artin写了一本《代数》，其中用数论来讲解理想的理论。” 图6：M. Artin写的《代数》中译本 图7：M. Artin写的《代数》的英文影印本 现代数学中的许多重要的基本概念和方法都是经过了多次的反复抽象和推广而得到的，它们在本质上是互相联系的，显示了高度的统一性。只有通过让学生不断地积累经验和进行反思，最好是能够亲自观察和体验抽象与拓广的过程，才能使他们悟出表面上“完全不同的题材”其实是在讨论同一件事，只不过是抽象的层次和抽象的方向的不同，例如环的理想理论是对数论与古典代数几何的一种朝着代数方向的抽象，代数拓扑是对复变函数论和古典代数几何的一种朝着几何方向的抽象，而同调代数又是对环的理想理论和代数拓扑的一种更高层次的抽象。因此在大学数学的教学过程中，应该部分地还原数学创造的过程，让学生在学习较高层次的理论前，先经历较低层次的抽象过程，从中领悟所学知识的真正内涵。这是在教学中需要历史途径法的主要理由和依据。数学家H. Bass曾经说过：
这里所说的解开压缩的教学方法实际上就是历史途径法。许多专家都指出，在向学生讲授数学时，应当按照数学发展的顺序来进行。《古今数学思想》的作者M .克莱因说过：
因此他认为，从历史的角度来讲解数学，“无疑地是使读者能获得理解和鉴赏的最好的写法之一。” 图8：M .克莱因写的《古今数学思想》中译本的第三册 二、历史途径法的主要特点和具体做法1．用重要的原始问题来组织教学和给出学习的动机，而不是用数学史来作为点缀运用历史途径法不是为了讲历史而讲历史，而是为了解决大学数学教学中的难点。历史途径法不是在传统的大学数学知识体系中简单地堆砌一些数学家的生平事迹来调节课本的枯燥叙述，给数学知识裹上“糖衣”，而是真正地伤经动骨，突出数学问题的提出过程和特殊具体问题的解决过程，突出最基本的概念和最基础的方法，并且适当地淡化理论体系的完整性，改变只注重逻辑演绎和面面俱到地同等对待所有知识点的做法。H. M. Edwards这样指出了历史途径法与传统教学方法的区别：
历史途径法能够有效地解答学生的困惑，尤其是象“人们是怎样想到的”和“为什么要学这个理论”这样的难以回答的问题。 在大学数学的各门课程中，初等数论是最容易运用历史途径法的一门课。但国内的初等数论教材比较注重理论体系的完整和各种难题的介绍，不少课题没有讲来龙去脉，这往往让初学者抓不住要领，难以激发学习和钻研的热情。而如果反观历史，就可以看出一条发展主线：从古希腊的因子分解与丢番图方程出发，发展到费马和欧拉所发现与证明的各种结论，再用高斯的同余理论加以整理和提高，从而为以后数论的进一步发展奠定了基础。U. Dudley写的《基础数论》和J. Silverman写的《数论概论》按照这个发展过程，用一些专题来引导和组织教学的内容。在介绍了辗转相除、唯一分解和线性不定方程等整除性基本理论后，马上转入同余的基本概念和一次同余方程。接下来，从实际的计算整数高次幂的同余问题（例如求）引入重要的费马小定理，然后仔细地讨论了历史上著名的寻找完全数的问题。这个问题虽然古老，但却是一个将唯一分解、正约数之和函数以及同余理论串起来的热点问题，它很好地解释了整除理论的用处、梅森素数的来源以及同余在简化计算上的作用。接下来为了推广费马小定理，很自然地引入欧拉函数、欧拉定理和原根。在给出概念、定理及其证明之前，总是先用具体的计算例子说明其中的内涵，并且为了减轻学生的负担而只证明了素数有原根。这样也不会影响后面的二次同余方程的内容。对于非常基本而又令人感到十分奇特的二次互反律，也是象数学家那样通过先观察Legendre符号的具体分布，然后才归纳得出数学规律。在J. Silverman写的《数论概论》中，非线性Pell方程是用历史上有趣的三角形数与正方形数何时相等的问题自然引出的，由此再展开连分数的内容和丢番图的逼近理论。 图9：J. Silverman写的《数论概论》中译本 图10：J. Silverman写的《数论概论》的英文影印本 还有一本由J. Goldman写的篇幅达525页的数论教材《数学的皇后：给出历史动机的数论导引》，则完全是在历史发展的框架内，全面讲述了近代数论的最基本的内容。该书共有23章，前六章仔细介绍了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德对数论的重要贡献，然后用八章详细讲解了高斯的经典名著《数论研究》，充分解释了该书中所包含的同余、二次型和分圆域等基本理论。接下来的三章从高斯整数出发讲解代数数论的主要内容，再用三章介绍算术几何最基本的内容，其中着重讲解了椭圆曲线的基本理论，最后三章讲Diophantus逼近、数的几何、进数理论。
图11：J. Goldman写的《数学的皇后：给出历史动机的数论导引》的日译本 又例如在概率论的教学中，比较困难的内容是多元随机变量的引入和统计量分布函数的推导。微积分正是通过连续随机变量这一重要途径而进入了统计领域，从根本上改变了早期概率论只讨论古典概型的状况。因此应较早地渗透分布函数的思想和利用曲线下的面积来表示概率的方法。当然，最重要的是要用数理统计的各种实际应用来讲概率论，否则就会使后者成为无源之水。这是因为在历史上，概率论主要是因为数理统计的需要而产生的。有一本用历史途径法编写的概率论与数理统计的教材《数理统计及其应用》，用几十个真实的数理统计实际应用的案例（Case Study）来组织和引导各项概率论和数理统计的教学内容，尤其在讲各种常用概率分布的时候就更是这样。这些吸引人的有趣案例不仅清楚地解释了各种基本定义和方法的内在含义，而且还能够使学生真正感受到数理统计方法的威力，从而理解在所有的科学研究中定量的结论是怎样产生的。该书作者抓住要点和由浅入深的精心安排也使学习变得容易起来。例如，在讲完常用概率分布后马上就讲估计和假设检验，由置信区间的估计等问题自然地引出如何求统计量的分布的这一基本的问题。到这个时候才开始推导两个服从正态分布的随机变量之和也服从正态分布，这样，为什么要学习个随机变量之和的分布函数的目的自然就很明确，相关的统计量分布的推导也不那么可怕了（笔者以前在大学学习概率论时，不理解为什么要研究像两个随机变量之和的分布函数这样的问题，一直到读了此书以后才明白学习这类分布函数的原因是为了求出统计量的分布函数，并且完全弄清楚了在数理统计中各种重要的统计量分布函数究竟是怎样推导出来的）。
图12：R. J. Larsen等写的《数理统计及其应用》的英文影印本 对于抽象代数（或近世代数）课程来说，由西南大学张广祥教授编写的教材《抽象代数——理论、问题与方法》，在运用历史途径法方面率先作出了可贵的尝试。该书在每一章的前面，都详细叙述了一个历史上比较重要的原始问题，然后用每章讲述的理论应用于解决这个问题。例如，该书就运用了欧拉证明费马大定理的情形的证明过程，来引入环的唯一分解理论。
图13：张广祥写的《抽象代数——理论、问题与方法》 2．历史途径法所涉及的历史只能是粗线条的简化的历史我们不能把历史途径法简单地理解为，完全照搬过去数学家们的方法来讲解现在十分成熟和精练的数学理论。H. M. Edwards说：
由于我们已经了解了数学后来的发展过程，所以可以选取对以后的发展来说是至关重要的数学思想和方法，并采用今天的简洁记号和更简单的基本概念来加以表述。显然这里所涉及的历史是一种简化（有时可能是过分简化）的历史进程，虽然与真实的历史有了一段距离，但却是教学所需要的。 例如高等微积分（或数学分析）的历史发展过程是十分漫长和曲折的。要让学生真正理解微积分的内涵，不是一件容易的事。目前国内微积分教学体系的主要缺点是：当学生对初等微积分还没有一个初步的了解时，就直接让学生学习严格的极限理论，这容易造成一定的学习困难。在历史上，在微积分理论发展了将近两百年后，才慢慢出现了严格的极限理论，极限理论的主要目的是为了解决求微分或导数、求积分、以及判别级数的收敛性时出现的各种比较复杂和艰深的理论问题。只有对初等微积分已经有了初步的了解，才能够比较好地理解严格的极限理论。龚升教授写的《简明微积分》和吉林大学数学系在上世纪80年代编写的3册《数学分析（上、中、下）》都从符合学生的学习认知规律出发，按照微积分历史发展的大致路径，先讲初等微积分，讲完以后，再来讲涉及严格极限理论的高等微积分，因此是非常合理的。
图14：龚升写的《简明微积分》（第四版） 这里简要讨论一下如何引入严格的极限理论。可以考虑从函数项级数出发，由于函数项级数的一个主要用途是求解微分方程。因此笔者建议用物理学中富有启发性的微元法来导出一些最简单的常微分方程，并介绍一些常用的解常微分方程的方法，特别是很有意思的幂级数解法，从中可以看到函数项级数对于产生更多的新函数所起的关键作用。不仅如此，从这里也可以自然地提出级数的收敛性问题，举出近代数学家们发现的一些所谓“悖论”。例如为什么有的收敛级数（如）重排后仍然收敛到原来的级数和，而有的级数（如）重排后却收敛到任意的其他值？这些问题都可以归结为数列的极限问题，为此就必须仔细地介绍和讲解数列极限的严格定义和证明数列极限的四则运算定理。而为了解决上述级数重排的悖论问题，就必须引入级数的绝对收敛和条件收敛的概念。为了引入函数的连续性概念，可以先讨论历史上“连续函数的一个收敛级数的和是否一定连续”这一热点问题，可以介绍柯西的失误和阿贝尔给出的例子 。为此必须仔细地考察函数的连续性，而不是仅仅依赖连续的直观形象。 从以上这些问题中就导致慢慢出现了魏尔斯特拉斯的ε-δ极限定义。这个定义把注意力集中在如何精确地表达“要多小就有多小”的问题上，从而可以彻底解决所有有关收敛性的困惑。现在就可以运用这个定义解决一些与连续性有关的问题，严格证明闭区间上连续函数的性质定理。关于导数这个对于微积分的应用来说是最有用的概念，用来引起讨论的问题有：是不是连续函数都可微？是不是可微函数都连续？若每一点可微，导函数是否连续？可以举出不少反例。为此必须仔细考察导数的定义及其基本性质，包括常用的极值定理和中值定理，用后者来证明洛必达法则等。还可以介绍令人震惊的连续但不可微函数的例子。接下来讨论函数项级数时，从上述柯西的失误和其他例子中引入非常基本的一致收敛性概念，证明与此相关基本定理。关于黎曼积分，也可以进行类似的讨论。对于傅立叶级数，应当通过二阶波动偏微分方程的三角级数解而引入，实际观察级数的逐项叠加如何逼近周期函数，弄清楚历史上曾经引起很大争议的“任何一个函数f(x)是否可以表示成三角级数的和”的原始热点问题，由此可以导入关于傅立叶级数收敛性的讨论。 关于在数学分析的教学中如何运用数学历史观点的做法，还可以参考S. Abbott写的优秀教材《分析入门》，其中在讲解每个主要知识点前，都给出了相关的历史与动机方面的解释。
图15：S. Abbott写《分析入门》的英文影印本 3．用具体简单的素材引出新内容，用数学的应用来揭示数学理论的内涵历史途径法常见的一个主要做法是：从历史上实际提出的（或者是学生容易理解的）特殊问题出发，采用具体简单的素材作铺垫，从中引导出抽象的数学概念与命题（UTM丛书中有些教材的书名就含有concrete（即“具体”）这个词）。很多时候从表面上看，好象没有用到历史材料，也不出现数学家的姓名，但是只要是从一般数学发现和学生认知学习的规律出发，来想象和还原数学发现的过程，并先在一些具体的相对比较简单的场合中总结规律，得到命题，然后再进行适当的推广和进行严格的证明，这同样也可以理解为是在部分地使用历史途径法。这一方面是因为数学发展的一个本质特征是：不断地从个别的具体材料抽象出一般的概念和适用面更广的方法，许多在一般（或高维）的情形成立的结论都是先从特殊（或低维）的情形得到的。另一方面，很多大学数学教学内容的创始者及相关的历史材料也是很难找到的，特别是一些常规的教学内容和小的知识点就更是如此。这时，只能对历史上数学知识的发现过程作出一些合理的推测，用以指导教学。例如笔者在写“从历史的角度引入复积分”一文时，其实并不清楚柯西发现留数定理的具体过程，但从当时一般数学家们的传统做法可以推想由几何级数展开是最容易看出留数这一概念的。 用历史途径法编写的教材会精心地做好铺垫准备工作，在对具体简单的情形未作仔细的研究和说明前，一般不会贸然定义一个抽象的新概念，或者提出一个新定理，尽量做到以人为本，尊重学生思考问题的心理学程序。例如M. Artin在写《代数》时，也是努力遵循了“主要例子应当先于抽象定义”的原则。 线性代数（或高等代数）教学的一个主要误区是只注重演绎证明，不重视思想来源、应用和低维（或低阶）情形的讨论。UTM丛书中讲线性代数的教材《通过几何讲线性代数》利用几何直观，在讲关于高维（阶）的理论前，充分地展开和讲透低维（阶）的情形。 该书首先将平面上的反射、旋转及位似等几何变换抽象成平面线性变换和二阶方阵等基本概念，用线性变换的乘积自然地导出二阶方阵乘积的定义和它们的基本性质。作者然后再用逆变换引出二阶逆矩阵的定义，用解二元一次方程组的简单方法求出二阶方阵的逆矩阵。通过讨论平面线性变换下平行四边形的面积如何改变的问题，该书自然地导出二阶行列式的概念。接下来，作者研究求平面线性变换下不变直线的问题，从中引导出非常基本的特征值和特征向量的概念及其计算方法，并将它们应用到二次曲线的分类问题中，此时也出现了相似矩阵。该书接着再用特征向量方法求解二阶线性常微分方程组，以显示这种方法的作用。在讲完二维的情形之后，作者再来平行地讨论三维空间的线性变换、三阶方阵以及变换乘积与矩阵乘积的关系，用三元一次方程组来求三阶方阵的逆矩阵，用平行六面体的体积引出三阶行列式的概念等。然后该书讲三维的特征值与特征向量，并用它们来对二次曲面进行分类。再接下来，作者引导读者非常仔细地进入抽象的四维欧氏空间，因为这时直观的想象十分困难，要更加依赖于代数的工具：即四维线性变换和四阶方阵。 有了以上的准备之后，该书从讨论线性方程组的求解问题出发，引入了高维解空间、高阶矩阵、向量的线性组合、子空间、线性相关和维数等基本概念。这样，作者就将高维的几何概念真正建立在了低维的几何概念的基础之上。当然，在强调几何背景的同时，作者还不忘提醒读者要注意摆脱几何直观的束缚。 由G. Strang编写的《线性代数及其应用》充分利用了线性方程组这一历史上的经典课题，从高斯消元法导出了矩阵的因式分解，用方程组来讲正交子空间。该书还包含了大量的应用，涉及科学、经济（例如线性规划）和计算数学等各个方面。笔者认为应用并不是可有可无的，这是因为数学理论中能够应用的部分一般都是该理论中最核心最基本的部分。对笔者自己来说，正是通过学习了线性规划中的单纯形算法之后，才开始真正理解高维的几何空间以及矩阵运算在描写高维几何空间中所起的关键作用。
图16：G. Strang写的《线性代数及其应用》的中译本 在大学数学各门课程中，拓扑学这门课应该是比较抽象和难讲的。不少教材都受到“点集拓扑-单纯同调-奇异同调-同伦”这一理论框架的束缚，不能很好地解释代数拓扑的想法来源于何处，其作用又是什么。实际上，拓扑学是由于研究高维几何空间整体问题的需要而自然产生的，它的基本思想来源于复变函数论（尤其是黎曼面）和经典几何学，并且有不少的实际应用。 由数学家W. Fulton写的《代数拓扑》这本教材，虽然表面上看是属于研究生丛书，但此书的前半部其实是大学本科数学课程的讲义。该书沿着历史发展的线索，着重讲述低维的具体问题。它首先从平面上的曲线积分和格林公式谈起，引入最简单的微分1-形式、闭形式和恰当形式，推导出了“闭形式是否为恰当形式取决于区域形状”这一重要的拓扑结论。作者再讨论曲线积分同伦不变的问题。然后该书引入环绕数这一简单的拓扑不变量，以此来定义映射的度，导出代数基本定理和不动点定理等一些基本的结果。接下来作者引入0维和1维的微分形式德·拉姆上同调群概念（这比先讲单纯同调群要自然），以此来导出著名的约当曲线定理，再讲0维奇异同调群，用它来刻画区域的连通性，接着讲1维奇异同调群，用它来描写区域有多少个“洞”的问题。再接下来该书引入曲面上向量场奇点的指标，导出十分重要的亏格概念及其与欧拉示性数的关系，再用同调的观点重新审视复积分和留数定理，并且对黎曼面进行分类。在有了这些准备之后，在学习高维的同调理论时就有直观背景，学起来也相对比较容易。
图17：W. Fulton写的《代数拓扑》的英文影印本 还有一本由W.Basener写的大学基础拓扑学教材《拓扑学及其应用》，在仔细讲授点集拓扑、复形、同伦和同调等基本知识的同时，穿插介绍了大量的拓扑学应用实例，它们涉及物理学、计算机图形学、凝聚态物质、经济学、化学、自动控制、宇宙学、动力系统和模拟等领域，内容丰富而易懂，从而令人信服地说明拓扑学是一门“高度有用”（highly useful）的学科，并且很好地回答了“为什么要学拓扑学”的问题。 三、使用历史途径法时可能会遇到的问题由于受到20世纪现代数学大发展的影响，目前各门大学数学课程所涉及知识体系的逻辑结构已经非常复杂，这时再要运用历史观点来重新组织教学的体系就难上加难了。人们不仅要在大量的教学内容中用历史发展线索找出主要的概念和方法，还要将具体的历史材料与学科的逻辑推理体系巧妙地结合起来，由浅入深地合理编排有关教学内容，努力达到严格推理的形式化与直观启发容易理解的非形式化的平衡，这样就对编写者提出了相当高的要求（容易发现他们中有不少是数学家）。有的时候，历史方法与传统方法的区别是十分微妙的，其分寸较难把握。许多时候，很难把复杂的学科基础知识完全纳入到历史发展的框架中来加以演绎推导，而只能部分地采用历史途径法。这就需要作者具备深刻的洞察力和付出艰苦的努力。例如M. Artin前后用了20年来写《代数》，以至于他说经常“头痛”。M. Spivak在写总篇幅达2700页的五卷《微分几何综合引论》时，几易其稿，历尽辛苦。 另一方面，对数学发展历史的详细过程与知识的缺乏了解（尤其是在国内），也在客观上阻碍了历史途径法的运用。H. Koch说：
另外还由于历史途径法需要占用不少课时，从而很可能达不到教学大纲中的一些基本要求，这时就需要有一个对师生双方都比较宽松的教学环境。在运用历史方法时，还可能会产生以下三个问题： （1）空泛谈论历史。除非是让学生完全弄清楚数学史事件中的数学细节，否则泛泛谈论某人作出某贡献有何伟大意义一般不会有助于对数学的理解。 参考文献[1] W. Scharlau，H. Opolka，From Fermat to Minkowski:Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development，UTM丛书，Springer-Verlag,New York,1985. 文稿：陈跃 编辑：朱善军 |
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