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群论—抽象代数和现代代数领域的基础,其本质特征尽在一个三角形中

2021-11-17  老胡说科学

  • 彭罗斯拼图上的十二面体
当我们讨论数学的美及其对称性时,我们经常忽略它们到底是什么(本质是什么)。在这篇文章中,我将介绍被称为群论的数学研究,它是被称为抽象代数和现代代数领域的基础。
三角形的对称性
我将从三角形的对称性开始,作为一种粗略的方式来理解即将到来的术语。我要做的就是从基本几何中提炼出一般意义。
定义1:三角形,三角形是平面内任何三个唯一的点,或平面内任何三条唯一直线所围成的区域。
定义2:等边三角形,如果一个三角形的三条边长度相等,我们就说这个三角形是等边的。
根据基本几何学,我们知道等边三角形的3个内角也是相等的。欧几里德以如下方式构建等边三角形。
因为这两个圆共享一个半径,而且所有三个点都位于两个圆上,所以任何两个圆之间的距离必须是相同的。稍后我们将看到这意味着什么。
以这里给出的三角形ABC为例。我们可以沿着它的一条平分线进行反射,或者我们可以将它旋转三分之一圈。这里用r代表旋转,用f代表反射。
我们可以看到,通过这些操作正好可以得到6种结果,举例来说:
可以想到,三角形的对称性对应于字母的重新排列,并且旋转和反射足以得到所有这些结果。如果你想尝试一下,从一张纸上剪下一个三角形,并尝试2或3个反射或旋转的每个组合。把它们做成一个表格,看看每个角的位置。
然后我们最终发现三角形{a,b,c}有一系列的旋转和反射使它保持不变;这些都是由一次旋转和一次反射“构建”而成的。
  • 这里,e是 "自身",即 "什么都不做"。
我们把这些称为对称性,这仍然不是一个很好的解释。我们更进一步,把具有这些对称性的三角形写成(T,G),其中:
T={a,b,c},G=(r,f,r^2,rf,r^2f)。你可以认为这是在描述一个等边三角形的属性:它是一个由三点组成的集合,其中某些旋转和反射(G中的那些)让它保持不变。我们现在称这些为对称性,但在不久之后会再一次完善定义。

什么是群?‍‍

定义3:群,一个群是一个集合X,与一种乘法(当a与b相乘时写成ab)相结合,使得:
  • X是封闭的:X的任何元素通过乘法运算后仍属于X。
  • X有一个单位元素:有一些元素e,使得对于X中的任何x,ex = xe = x。
  • 乘法是结合的:对于X中的所有a,b,c,a(bc)=(ab)c=abc;并且
  • 乘法有一个逆运算:对于X中的所有x,存在一个元素y,使得xy=yx=e,我们可以表示这个y为x^(-1)。
一个群是任何元素的集合。现在,如果你回顾一下三角形例子,这个三角形是由(T,G)给出的。正如我们上面描述的那样,G是一个群。如果把不同的旋转和反射结合起来,就会得到一个旋转或反射,而且正如我们的表格所显示的,这些旋转或反射中的每一个都有一个逆数(在表格的每一行,至少有一个e,所以每个元素至少有一个逆数)。最后,它是“结合的”,正如我们可以通过同样的推理来检查。
在三角形的例子中,我们必须注意,三角形本身不是群,顶点也不是;相反,{a,b,c}这个集合被旋转和反射群所作用。这个群被称为D3,即作用于3个物体的二面体群
在继续之前,深呼吸一下,不要想太多。我们所做的只是说出了一些我们已经理解的东西,或者我们至少可以在直观的层面上做一些尝试。这个 "大跨步 "是我们将这些对称与它们赖以生存的东西分离开来,这是非常有价值的,我们稍后会看到。

例子‍

算术模数3
让我们再举两个简单的组的例子。第一个是一个有3个小时的时钟的算术。
  • 一个有3个小时的钟。
在这个有3个小时的时钟上,我们将定义一些基本的算术。以2+1为例。2之后的一个小时是0,所以2+1=0。
同样地,2+2=1,2×2=1。其他一切都 "和平时一样"。
这就是所谓的算术模数3。我们现在将专注于加法属性;在这种加法下,我们将集合{0,1,2}称为Z3,对它进行+运算。这是一个极其基本的群,作用于这个极其简单的集合。对有兴趣的读者来说,一个很好的练习是检验(Z3,+)是否是一个群。
这也恰好等同于仅由三角形上的旋转形成的群。
有理数
取任何分数p/q,其中p,q不为0。通过乘法运算,这就是一个群。在加法运算下,它们也是单独的一个群,p允许为0(但q不允许!)。提示:在乘法中的e是1,在加法中的e是0。
单位圆的旋转角度为k
正如你可能已经注意到的那样,旋转在平面上很容易产生群(后面会有更多介绍)。现在,注意到所有旋转的集合,无论是作用于平面还是作用于以原点为中心的任何圆,都是群。
群的属性
现在我们有了一些例子,我们注意到以下几个术语和想法:
  • 交换的:如果运算可交换,也就是对于X中的所有元素,xy = yx,那么我们说这个群是交换群。
  • 子群:如果群的一个子集仍然是一个具有相同运算的群,我们说它是一个子群。一个很好的例子是整数的加法,以及任何素数的倍数集合;比如{...-10,-5,0,5,10,15...}在这里写成5Z(与Z5不同!)。
  • 群阶:我们说一个群中元素的数量就是它的阶。
  • 拉格朗日定理:如果H是一个有限阶的群,而G是H的一个子群,那么G的阶就能整除H的阶。
  • 元素阶:元素g的阶是使g^k = e的最小数k
  • → 柯西定理:如果H是一个有限阶n的群,p是一个能整除n的素数,那么H至少有一个p阶的元素。
这给了我们一些方式,把群看作是数论和几何学的基础结构。这就引出了最后的定义。

从群的角度看几何学‍

定义4:几何学,几何学是一对(S,G),其中S是一个集合,G是一个变换群。
这就把我们引向下一个定义:
定义5:变换,变换是一个从集合A到自身的函数T,通常写成T:A→A,这样,A中的一切都归于A中唯一的东西(一对一),并且T的输出涵盖A的全部(满射)。一个一对一和满射的函数被称为双射,而从一个集合到它本身的双射(保留了群结构)是一个自同构。
因此,一个几何体是一个集合,这个集合具有一个群,这个群的函数满射到自身;或者是一个集合,这个集合的群是自同构的。这些也被称为对称性。
回到三角形,有一些语言,我们可以更好地理解。
这里,整个几何学是(S,G)。三角形是S={a,b,c}的集合,自同构群由r和f的组合组成。我们把这个群写成G或<r,f>。这些元素分别有3阶和2阶,因为r^3是a→b→c→a(对于任何一个元素都是如此),而f^2是a→c→a(同样,每个元素都被保留了,尽管b没有改变)。r和f的组合是三角形的对称性。
最终定义:
定义6:欧几里得几何,欧氏几何是复数的集合C,与T(z)=r(z)+b形式的变换群H相结合,其中z是一个复数,b是一个复数常数。
也就是说,它是平面的所有旋转和平移的集合。看看你是否能自己明白为什么有意义。

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