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群是群论以及抽象代数中最基本的概念，群论最先是法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811年10月25日—1832年5月31日）在求解五次及以上代数方程时创立的。 定义 设G是非空集合，在G上有一个二元代数运算(什么是代数运算？)，叫做乘法(有时也叫加法)，对G的任意两个元素a,b，其运算的结果c称为a与b的积，记为c=ab，如果还满足 (1) 结合律：(ab)c=a(bc), ∀a,b,c∈G； (2) 有单位元e，使得ea=ae=a, ∀a∈G； (3) 对每个a∈G，有b∈G，使得ab=ba=e,b 称为a的一个逆元； 则称G为一个群。 其实二元代数运算意味着群的乘法的封闭性，也就是群的任意两个元素相乘的结果仍然是群的元素。当群G中的代数运算(即乘法)满足交换律(ab=ba,∀a,b,c∈G)时，称G为交换群。 群的性质 定理1 群的单位元是唯一的。 定理2 群中每一个元素的逆元是唯一的。 定理3(消去律)   群对我们来说并不陌生。例如，实数集对于实数加法运算构成群，这里的加法就是群的定义中的乘法，单位元是0，往往也称0为零元；非零实数关于实数的乘法也构成群，单位元是1；平面或空间内的所有旋转变换构成群，所有的对称操作构成群；非零复数或四元数关于乘法的运算构成群；x 以群为基础可以进一步定义环和域，群、环、域构成了抽象代数(也称近世代数)的基础。常见的有理数域或实数域的很多概念、性质、理论可以推广到其他形式的元素构成的域上。例如可以将有理数域或实数域中的素数、距离、极限、微分、积分等概念和相关理论推广到由矩阵、函数、对称操作等类型的元素构成的域上。因此，抽象代数是对很多不同理论共性的总结，是理论的理论。此外，群论和抽象代数也是数学、物理学、化学、晶体学、材料科学等学科中一些重要理论的基础，如物理学中的规范场论、结构化学中的分子点群、晶体学中的对称群。  伽罗瓦在创立群论时年龄才18岁左右，但他一生只活了20周岁。 |
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