强基数学：三次根号2与有理数

本文讨论 与有理数经过任意有限次加减乘除运算所得到的那些数构成的集合 (称为有理数域 添加 所得扩域)。

为确定这个域的代数结构，需要用到不可约多项式、向量空间及线性映射等基础知识。

本文适合低年级大学生和一部分准备数学强基计划的高中生阅读。

(一)域的定义

熟知，整数的加法、减法及乘法的结果是整数，但是整数除法的结果不一定是整数。

引入分数作为整数除法的结果，得到全体有理数。全体有理数的集合记作

有理数的加减乘除运算的结果是有理数。用高等代数的语言，全体有理数构成有理数域。

一般的域，是一个集合连同加法和乘法两种运算，加法有零元素，乘法有幺元素，幺元素不同于零元素，使得每个元素有负元素，且每个非零元素有逆元素(从而能够做减法和除法)，并且加法结合律及交换律成立，乘法结合律及交换律成立，乘法对于加法的分配律成立。

为得到由一部分实数或复数构成的域的例子，考虑包含一个特定实数或复数 的最小的域，记为 这个域的元素是那些由 与有理数做任意有限次加减乘除运算所能得到的数，称为有理数域添加 所得扩域。

作为简单例子，容易验证， 由所有形如 (其中 是有理数) 的实数构成，不同的有序有理数对 表示的数不同，且有逆元素公式：

本文接下来的部分讨论扩域 的结构。

(二)预备知识：无理数

需要知道 是无理数。

命题1 是无理数。

证明与 是无理数的证明类似；留作练习。

实际上，利用同样的方法，可以证明任何不等于整数 次幂的正整数的 次算术根是无理数。

命题1a设 和 都是正整数，且 不等于任何正整数的 次幂。则 的 次算术根 是无理数。

因此 也是无理数。

(三)预备知识：不可约多项式

如果有理系数的多项式不能写成两个低次的有理系数多项式的乘积，则称这个多项式在有理数范围内不可约。

命题2 在有理数范围内不可约。

证明：假设 在有理数范围内可约，即存在有理数 使得

对比系数，得到

由此容易得到

这与 是有理数矛盾。

因此多项式 在有理数范围内不可约。

注：利用判断整系数多项式在有理数范围内不可约性的爱森斯坦判别法，可以直接得到命题2的结论。

定理 (爱森斯坦判别法)设整系数多项式

的系数被某个素数 的整除性质满足：

(1) 不整除最高次项的系数 

(2) 整除其余的系数

(3) 不整除常数项 

则多项式 在有理数范围内不可约。

这个判别法的证明，请参考高等代数教材。

(四)有理系数的线性无关性

一组实数称为有理系数线性无关的，如果只要有理系数的线性组合的结果等于零，则所有系数等于零 (即不存在不全为零的有理系数使得它们与这组实数的线性组合等于零)。

本节证明 是有理系数线性无关的。

命题3如果有理数 满足

那么

证明：首先，假设  

记 则有 及

由多项式除法，存在有理数 使得

因此 

由此得到   从而 

这说明 在有理数范围内可约，矛盾。

因此 从而有

这就证明了命题3.

作为推论可知，不同的有序三元有理数组 表示的数 不同。

(五)有理数域上的向量空间

定义实数集的子集

则 的元素

的和 是 的元素，这是因为

此外，任意有理数 与 的元素 的乘积 是 的元素，这是因为

这样， 成为有理数域上的向量空间。

命题3表明， 是有理数域上的三维向量空间，一组基为

(六)非零元素给出的线性映射

容易验证， 的任何两个元素的乘积属于

设 其中 是有理数且不全为零。由命题3，

定义映射 如下：对于 令

则 是线性映射，因为

是单映射，这是因为 推出 

根据线性映射的性质，有限维向量空间到自身的线性单映射必定是满映射。因此 是满映射。

(七)有理系数的线性组合的倒数

本节证明 的有理系数的线性组合(系数不全为零)的倒数具有同类型的表达式。

命题4设 是有理数，且不全为零。则存在有理数 使得

证明：记 则 

根据上一节的讨论，由 所定义的映射 是满射。从而存在有理数 使得

这就证明了命题4。

练习1设有理数 不全为零。证明

练习2设 是不全为零的有理数。求出

的具体表达式 其中 是有理数。

(八)结束语

至此，可以完整地刻画扩域 

命题5有理数域 添加 所得扩域为

它是有理数域上的三维向量空间，一组基为 (因此不同的有序三元有理数组 表示的数不同)。

由某些实数或复数构成的域，如果是有理数域上的有限维向量空间，则称为代数数域。这是代数数论的基本研究对象。

祝同学们暑假学习愉快！